K.monsters Memorial

MSM 시뮬레이션: 안나를 위하여 5-암산 정복하기 下

postk — Tue, 27 Feb 2024 02:48:53 +0900

2020-01-01 06:57:15

1. 덧셈암산 후반부(#41~80) 지도

<10 큰 수>

#40까지 합수 18의 조합이 완성되면, #41부터 10 큰 수의 원리를 이용한 덧셈이 등장합니다.

4+5=9

14+5=19

7+3=10

17+3=20

10 큰 수에 대한 이해가 부족한 아이들은 4+5와 14+5의 차이점과 공통점을 발견하지 못하고 둘을 별개의 문제로 바라봅니다. 그러니 4+5=9라고 써 놓고 바로 아래 문제 14+5는 한참을 고민하고 있겠지요. 이런 경우는 일단 지켜본 뒤 지체하지 말고 수창판이나 숫자판을 놓고 '10 큰 수 읽기'를 같이 해보세요.

▶ 첫째, 5-15-25-35-45-55 이런 식으로 '세로줄 읽기'를 한 뒤 안 보고 읽을 수 있는지 확인하세요.

▶ 둘째, 5-6-7, 15-16-17, 25-26-27 이런 식으로 구간을 정해 세로줄 읽기를 연습시킵니다.

▶ 셋째, 둘째 단계를 5+2=7, 15+2=17, 25+2=27과 같이 읽으며 내려가도록 연습시킵니다.

그러나 아마 이런 연습으로도 다음과 같은 오류가 있을 것입니다.

-오류1-

17+4=11

-오류2-

17+4=12

오류1은 7+4=11인데 17+4와 뭐가 다른지 모르니 그냥 썼거나 더 황당하게는 7+4와 17+4를 같은 문제라고 생각한 경우입니다. 오류2는 7+4=11이고 17은 1이 더 있으니까 12라고 답한 경우이지요.

여러분이 볼 때는 누가 앞으로 더 잘할 것 같나요?

뭐 둘 다 틀렸으니 거기서 거기라고 생각하실지 모르지만 오류2의 학습자가 월등히 잘하는 것이 관찰됩니다. 사고수준과 학습태도가 다르기 때문이지요.

어쨋든 이런 오류들은 이 시기 학습자에게 나타나는 전형적인 실수들이지만, 사실 더 큰 실수는 주로 교사들이 범하기 쉽다는 걸 말씀드려야겠군요.

아이들이 이 구간에서 이렇게 헤매고 있을 때, 교사들은 아무렇지도 않게 '올림수 개념'을 끌고 와서 떠벌이기도 합니다. 네, 물론 2학년 이상인데 이제 A단계인 아이의 경우 올림수 이런 거 쯤이야 문제될 것이 없다고 생각할 수도 있습니다. 그렇지만 2학년인데 A단계를 학습하고 있는 건 그만한 이유가 있는 것 아니겠습니까? 올림수 개념이 위와 같은 오류를 해결하거나 방지하는 데 효과적이라면 2학년으로서 학교에서 이미 그 개념을 학습한 아이는 A단계 이 구간에서 적어도 '틀리지는' 않아야 합니다.

그러나 제가 관찰한 바에 따르면, 올림수 개념은 17+4나 25+8과 같은 셈을 정확하고 빠르게 해내는 것과는 아무 상관이 없었습니다. 사실 더 핵심적인 변수는 따로 있기 때문이지요. 바로 '양감각', '수좌표감각' 말입니다.

양감각은 17+4의 값이 적어도 17보다는 커야한다는 사실을 알려줍니다. 수좌표감각은 17+4와 7+4가 같은 간격의 평행이동값과 관련이 있다는 걸 알려줍니다. 사실 B단계가 되어도 올림/내림수를 따로 지도할 필요가 없는 것이 구몬입니다. 아니 오히려 그런 것들을 가르쳐야 한다면 정상이 아니지요.

본디 올림/내림수라는 것은 계산의 편의를 위해 인위적으로 고안된 방편일 뿐이라서 수감각 증진과는 무관할 수 밖에 없습니다.

2학년 학습자도 이럴진대 그 이하의 학령은 두 말할 필요도 없습니다.

절대로, 올림수 개념을 지도하지 마세요.

#41~80구간에서 발생하는 오류들은 오로지 '복습과 피드백, 10 큰 수 지도'로만 조절되어야 합니다.

<교환법칙의 확장>

A: 5+7=12

B: 7+5=12

C: 17+5=22

D: 15+7=22

E: 7+15=22

기존 교환법칙에 대한 이해가 <A-B>였다면, #41~80구간에서는 <C-D-E>로 넓혀주어야 합니다. 즉, 덧셈의 교환법칙은 다음의 두 가지 상황에서 성립합니다.

첫째, A+B(5+7)를 B+A(7+5)로 바꾸어도 답은 같다. (연산수 교환) : <A-B, D-E교환>

둘째, AB+C(17+5)를 AC+B(15+7)로, 혹은 AB+C(17+5)를 B+AC(7+15)로 바꿔도 답은 같다.

(자릿수교환) : <C-D,C-E교환>

A+B=C에서 A,B,C를 연산수(operand)라고 부릅니다. 덧셈의 교환법칙에서는 좌변의 연산수끼리 서로 자리바꿈이 가능한데 이것이 연산수 교환입니다. 덧셈의 교환법칙은 자릿수교환도 가능한데 이것은 자릿값을 유지하면서 바꾸는 것으로 17+5에서 15+7로, 혹은 17+5에서 7+15로 일의 자리끼리 또는 십의 자리끼리 위치가 바뀌는 경우입니다. 곱셈에서는 연산수 교환만 성립하고 자릿수 교환은 성립하지 않습니다. 이것이 곱셈식 초기에 "16X7과 17X6은 같을까?"라는 발문을 해야하는 이유입니다.

<C-D-E>교환은 #41~80 학습이 중간쯤 이상 진행된 후, 아이와 함께 여러 문제들에 나타난 사례들로 피드백이나 학습정리로서 다루길 바랍니다.

2. 뺄셈의 도입

<가역적 사고의 시작>

여러분이 초등학교 1학년이었던 때를 떠올려 봅시다. 아마도 한동안은 집에서 학교로, 학교에서 집으로 오갈 때마다 어머님이 동행해주셨겠지요? 그러나 어느 시점이 지나면 혼자서 등하교를 했을 것이구요. 여러분은 기억이 안나시겠지만 저는 기억이 납니다. 처음으로 혼자 등하교하던 날 많이 헤깔렸거든요. 등교는 그럭저럭 하겠는데 문제는 하교길이었지요. 분명히 아침에 오던 길인데 왜 돌아갈 때는 그렇게 다른 길처럼 보였을까요?

이처럼 A->B와 B->A는 총합이나 변량에는 차이가 없지만, 결정적으로 다른 게 있습니다. 바로 '사고의 방향성'이지요.

A->B에서 사고는 순차적으로 일어납니다. 그러나 B->A는 A->B의 역순으로 일어나지요. 이것을 가역적 사고라고 부릅니다. 수학적 사고력의 하나로서 가역적 사고는 수학학습에서 다소 어려운 영역이기도 합니다. 당연한 일이지만 시계를 분리하는 것보다 조립하는 게 더 어렵지 않겠어요?

그런데 '수학을 잘 하려면' 이 가역적 사고에 아주 유연해져야 합니다. 뺄셈, 나눗셈, 약분, 어떤 수 풀기, 인수분해, 인수정리, 지수와 로그, 미적분 변환 등 대충봐도 골치아픈 것들 투성이긴 하지만요.

<자기조절 퇴행과 복원, 그리고 증폭>

덧셈암산이 무색하게 뺄셈을 처음 배우거나 익숙치 않은 상황에서 학습할 때는 자기조절이 퇴행하여 이전 단계 수준의 지적표준으로 다시 내려갈 수 밖에 없습니다. 한동안 자취를 감췄던 수세기-손가락 쓰기-복제-지그재그 등이 다시 나타나게 될 겁니다. 이것은 덧셈에서 뺄셈으로 근접발달영역(ZPD)이 새로 설정되었기 때문에 어쩌면 지극히 자연스런 반응이죠. 진짜 문제는 퇴행이 아니라 적응과 복원력입니다.

손가락 대신 수세기로, 수세기 대신 역산으로, 역산 대신 암산으로의 증폭과정(자기조절)이 우리의 목표이기 때문이죠.

아마도 이 과정에서 많은 아이들이 덧셈의 자기조절 수준을 유지할 수 없을 겁니다. 그래서 때때로 뺄셈 중 덧셈을 너무 까먹어서 덧셈을 같이 풀리는 분들도 계신 줄 압니다. 고육지책이긴 하지만 그렇게 해서라도 진도를 나갈 수 있다면야 다행입니다만 대개는 죽도 밥도 안되기 쉽상이지요. 이런 이유로 덧셈단원(#11~80)은 정말 목숨걸고 가급적 완벽하게 할 수 있도록 만들어야 합니다. 그런 조건에서조차 뺄셈은 만만치 않으니까요.

<역창법 VS 역산법>

구몬 A단계 학습포인트에 보면 "빼기 1은 앞의 수, 빼기 2는 앞의 앞의 수, 빼기 3은 앞의 앞의 앞의 수로 도입합니다"라고 되어 있습니다. 이런 방식의 뺄셈법을 역창법이라고 하겠습니다.

역창법에서 5-2는 5->4->3의 역창으로 3을 이끌어 내게 됩니다. 이건 우리가 3A에서 3+2는 3->4->5로 2칸을 세어 5를 이끌어낸 것처럼 수세기에 의한 셈법입니다.

반면에 역산법이란 것도 있습니다. 이것은 5-2를 '2와 더하여 5가 되는 수는?'이라는 질문으로 생각하여 3을 유도하는 방법입니다. 말하자면 가르기/모으기(3+2=5 --> 5-2=3 / 5-3=2)를 이용하는 것이지요.

예전에 2A에서 빼기가 나올 때는 A단계 뺄셈파트의 기본지침이 '역산법'이었습니다. 이후 교재개정으로 빼기가 A단계로 넘어가면서 기본지침도 바뀌게 된 것이죠.

A단계에 와서야 빼기가 시작되므로 기본지침이 역창법으로 제시된 것은 정상입니다. 역창법이 가장 낮은 수준의 자기조절 수단이기 때문이지요. 하지만 역창법은 자기조절의 최소출발점이지 종점이 아닙니다.

A단계 후반 뺄셈단원은 설사 아이가 생애 처음으로 해보는 빼기라 하더라도(촉진), 결국 완성에 이르기 위해서는 자기조절의 자체심화발달, 즉 '증폭'이 핵심조건이 됩니다.

이때, 두 말 할 필요도 없이 가장 높은 수준의 자기조절은 당연히 역산법이고, 지적표준은 덧셈 수준의 머리셈이겠지요? 아마도 이 두 목표를 달성하려면 대부분의 아이들은 2A 수준의 자기조절로 '내려가야' 할 것입니다. 그러나 3A 수준으로 내려가야 하는 아이도 있겠지요? 그래서 교재의 표준지도지침이 '역창법'으로 게시된 겁니다.

그러니까 뺄셈이 시작되면 빼기 1,2,3에서 가장 먼저 확인하셔야 할 것이 문제해결을 위해 아이가 어떤 수준의 '자기조절'을 동원하는가 하는 것입니다.

3A 수준으로 내려간 경우라면, 처음엔 '역창'에 의해서 답을 구해야 하므로 '거꾸로 세기(역창)연습'이 교재풀이를 도와줄 수 있을 것입니다. 그러나 빼기 3이 끝나가도록 '역창법으로만' 계산한다면 '절대로' 안 됩니다. 역창법으로 도입했더라도 빼기3의 마무리 전에 반드시 역산법을 익혀야 합니다. 왜냐하면 역창법으로만 문제해결이 가능한 경우, 이후의 -1~-3혼합이나 -4, -5로의 빠른 교재흐름을 따라가지 못하고 결국 작업능력이 제로에 가까워지는 시점을 맞이할 것이기 때문이죠. 물리적으로 14-9를 9칸 뒤로 세어 푼다는 건 '고문'에 가까운 일입니다.

최악의 경우, 어떤 아이는 스스로는 역창법 이상의 자기조절로 나아가지 못할 수도 있고, 어느 수준까진 올라가도 결국 스스로는 역산법을 터득하지 못할 수도 있습니다. 제가 지적표준의 성격에 대해 말씀드린 것 기억하고 계시죠?

지적표준의 발달이 일정한 순서를 밟는다는 것은 수 많은 아이들 지도에서 입증된 사실입니다.(순차성)

그에 반해 지적표준이 항상 알맞은 시점에 알맞은 정도로 출현하는 것은 아닙니다. 그것은 뭐랄까, 자연상태로 놔두면 그저 되는 애는 되고 안 되는 애는 안 되는 것처럼 보이기도 합니다. 이것을 좀 어려운 말로 지적표준의 '확률적 개연성'이라고 명명한 것이죠.

만일, 지적표준의 성격이 이렇게 딱 2가지에 그쳤다면 우리가 아동을 도울 수 있는 방법은 남아있지 않게 됩니다. 그저 아동이 적절한 인지수준에 도달할 때까지 차나 마시면서 기다려야 할테니까요.

하지만 지적표준이 어떤 원리로 발달하는지를 알고 있다면 교사는 적절한 때에 충분히 아동을 돕거나 자기조절을 증폭시킬 수 있습니다. 지적표준은 체계성과 확장성을 가지고 있기 때문이죠.

<증폭과 촉진>

오로지 역창법으로만 빼기를 하는 아이가 있다고 할 때, 여러분이 해야 할 조치는 다음의 두 가지입니다.

첫째, 수세기(역창)보다 진보된 자기조절로 나아가도록 유도한다.

둘째, 역산법을 이해시키기 위한 모델링(시범)을 시행한다.

첫째 방법은 증폭입니다.

위의 그림에서 보는 바와 같이 아이는 비록 뺄셈초기에 헤매고 있지만, 이미 덧셈암산에 이르는 모든 자기조절의 길이 뚫려있는 상태입니다. 단지 이전과는 다른 수준의 새로운 자기조절인 '역조작'이 아직 막혀있는 것이죠. 이때 역조작은 가역적 사고, 즉 역산법을 다루는 자기조절이자 지적표준을 의미합니다.

증폭이란, 이렇게 이전까지의 주제인 덧셈암산을 가능케 했던, 자기가 개발하거나 터득해서, 혹은 도움을 받아서 익힌 자기조절들을 현재 주제인 '뺄셈'으로 가져와서 그대로 '써 먹도록' 하는 것입니다.

그림을 보세요. 역창법에만 의존하는 아이는 자기조절이 '수세기' 수준으로 후퇴한 상태입니다. 수세기-수좌표-수직관 그룹 다음의 자기조절 그룹은 '지그재그, 복제나 암기'입니다. 그러니까 이 아이가 무언가 앞으로 전진하기 위해선 또 다시 한동안 '지그재그'를 해야한다는 거죠. 이쯤되면 아이가 빼기3이 끝나가도록 스스로는 지그재그를 해 볼 생각도 안 했다는 얘기니까 여러분이 교재를 '보여주고', '시범하고', '따라하게' 만드셔야 합니다. 이것을 아이가 잘 수행한다면 일단 이 아이의 자기조절을 2A 수준 정도로 끌어올리는 데 성공하신 겁니다.

그러나 그렇게 되려면 동시에 반드시 역산법을 이해시키는 과정이 뒤따라야 합니다. 그것이 촉진이죠.

둘째 방법은 촉진입니다. 아이의 현재발달수준 외곽에는 조만간 발달할 것으로 보이는 잠재발달수준이 있다고 말씀드렸죠? 그러니까 이 아이에겐 역조작이 잠재발달수준이 될 겁니다. 촉진이란, 현재발달수준에서 잠재발달수준까지 완만한 경사의 다리를 놓아서 아동이 그 다리를 밟고 올라가도록 함으로써, 새로운 자기조절을 배우도록 하는 방법입니다. 이 경우는 역조작을 이해하고 익히도록 여러분이 아이에게 '역산법'을 '가르치는 것'이죠.

여기까지는 보통이하의 아동일 경우를 상정하여 말씀드렸습니다. 제 회원들을 보면 10명 중 1~2명은 이런 것 같네요.

상하위 3~4명을 제외한 대부분의 보통아들은 아래에 주목해 주세요.

<역조작의 발달경로: 역산-검산-오류감지-덧뺄셈의 연결>

위 '자기조절 계통도'에서 역조작은 그 자체로 하나의 지적표준입니다. 즉, 여러 가지 종류의 자기조절이 '융합'된 사고라는 것이죠. 이때 통합되는 주요 자기조절이 추리-교환-상보원리, 그리고 덧셈암기력입니다.

사실, 이 모두는 자기조절의 경로에서 소위 '뚫린 길'이기도 합니다. 하지만 이것들을 잘 조절해서 '플러스 알파'인 역조작을 만들어 낼 수 있어야 하죠.

첫째, 덧셈암산을 정상적으로 마친 보통아라면 A단계 뺄셈에 이르렀을 때, 주저말고 역산법을 바로 도입하세요!

덧셈암산까지 제대로 가 본 아이라면 A단계에서 반드시 활성화되어야 할 자기조절이 최소 50%는 형성된 거라고 보면 됩니다. 그 나머지 50%가 역조작이니까요. 또, 역조작이란 바로 앞선 덧셈암산까지 발달시킨 자기조절을 베이스로 형성되는 것이니 앞선 50%가 믿을 수 있는 상태라면 굳이 역창법과 같은 수준 낮은 자기조절로부터 출발하지 않아도 됩니다. 그러니까 시작부터 역산법으로 풀도록 지시하시면 됩니다. 네, '지시하셔야' 합니다. 빼기 1부터 '확실하게' 역산법을 훈련하지 않으면 감수(5-1=4에서 -1)가 커질수록 자기조절이 퇴행하여 돌이키기 어렵습니다.

5-1=(4) <-- 1+(4)=5 '1과 더하여 5가 되는 것은 4이다'

6-1=( ) <-- 1+( )=6 '1과 더하여 6이 되는 것은?'

이런 식으로 풀게 되면 아이의 머리는 '퍼즐맞추기' 방식으로 작동됩니다. 그 퍼즐은 이미 아는 그림(덧셈)이지요.

하지만 마치 처음보는 로보트의 부품을 맞추듯이 아주 천천히 배울 수 밖에 없습니다. 어쩌면 역산법을 쓰는 아이들이 손가락을 놀리는 아이들에 비해서도 빼기1~3에서는 확실히 '느려보일' 겁니다. 그러나 빼기3까지 그렇게 다지고 나면 역조작이라는 새로운 자기조절을 획득하게 되어 이후에는 더 잘 적응하고 빨라집니다.

둘째, 역산법으로 문제를 푸는 순간 동시에 뺄셈의 검산법을 익히게 됩니다. 이 검산법으로 오류를 감지하는 방법을 가르치세요.

연산이 시작되는 3A부터 지적표준에 따라 진도를 잘 구성할 경우, 2A단계까지 오답률은 거의 0%에 수렴합니다. 오답률이 높아지는 건 A단계부터죠. 특히 뺄셈은 더더욱 오답률이 높을 겁니다. 빼기 1~3까지 어느 정도 역산법이 익숙해지고 나면, 검산법으로 오답을 찾는 방법을 알려주세요. 그리고 나서 '오류발견활동'과 같은 메타인지 피드백으로 검산능력이 갖춰졌는지를 체크하셔야 합니다. 이렇게 시간이 좀 더 흐르면 역산과 검산이 하나로 합쳐질 겁니다. 문제를 풀 때 역산과 검산을 동시에 수행하는 것이죠. 이것은 결과적으로 오답률을 낮추고 오류를 빠르게 감지하는 오류감지능력으로 자리잡습니다.

셋째, 합수 11~20 쓰기 또는 외우기 과제를 내주세요.

역산법 지도에 있어서 거의 유일한 위기는 틀림없이 덧셈암기력이 부실할 때 나타납니다. 특히, 11빼기가 등장할 때부터 아마 악몽을 경험중이신 분들 많으리라 생각합니다. 그 이유는 당연하게도 합수 11~20을 익힌지 얼마 안됐기 때문입니다.

네?, 얼마 안됐으면 잘 기억하고 있어야 하지 않냐구요? 아니요, 덧셈파트에서 제아무리 잘했어도 뺄셈에 와서 '기억이 안나 어려운 것'은 당연한 겁니다. 6+3=9와 같은 수준은 2A와 A를 지나오면서 수 없이 관찰할 기회가 있었던 반면 합수 11이상의 문제들은 이제 겨우 A 전반부에서 익혀가고 있는 중이니까요. 즉, 아직 진행형이란 얘깁니다. 7+4=11과 11-4=7은 아직 병립하는 같은 수준이 아닙니다. 이 둘을 '같은 수준'으로 볼 수 있는 '감각'(머리셈)이 만들어지려면 당분간은 시행착오를 할 수 밖에요. 그리고 그 끝에 가서야 비로소 암산(머리셈)이 있죠.

이전에 교환법칙을 빠르게 알아보고 적용하는 데 있어 도형추리력이 필요하다고 말씀드린 거 기억하시나요?

7+4=11

4+7=11

도형추리란 쉽게 말하면, '관찰 대상의 일부 혹은 전체를 머릿속으로 움직여서 파악하는 능력'입니다.

7+4=11

이 문제를 세로축(Y)에 대해 대칭이동한 것이 11-4=7입니다. 이게 빨리 보여야 뺄셈을 잘 할 수 있겠지요?

이처럼 덧뺄셈을 연결하는 데, 즉 역조작을 통해 암산을 완성하는 데 도형추리가 관여하는 것은 분명해 보입니다.

따라서, 가급적 아이들에게 '시각화'된 자료로 피드백을 줄 필요가 있습니다.

우선, 덧셈과 마찬가지로 덧셈조합이 많은 합수 11~14빼기를 아주 많이 연습시킬 각오를 하셔야 합니다.

[합수 11의 집합]

10+1=11 --> 11-1=10

9+2=11 --> 11-2=9 --> 11-9=2

8+3=11 --> 11-3=8 --> 11-8=3

7+4=11 --> 11-4=7 --> 11-7=4

6+5=11 --> 11-5=6 --> 11-6=5

주중 핵심과제가 11~12빼기라면 이 두 조합수에 대해 덧셈집합을 위와 같이 노트에 써보도록 하는 것이 도움이 될 때가 있습니다. 합수 11~20까지 이렇게 관리해 보세요. 이것이 효과가 없다면 망각이 심한 경우이므로 차라리 덧셈파트로 되돌아가서 정리를 해주는 것이 낫습니다. 어중간하게 덧뺄셈을 병행하려고 하지 마세요. 두 개 이상의 연산을 동시에 수행하는 것은 현단계보다 높은 수준의 자기조절을 요구합니다.

학습능력이 의심스러운 경우, 차라리 A단계 진입 전 미리 말씀해 두세요. 뺄셈 나갔다가 특정 부분에서 부적응이 있을 경우 덧셈으로 언제든 복귀해서 몇 사이클을 순환해야 할 수 있다구요.

MSM 시뮬레이션: 안나를 위하여 4-암산 정복하기 上

postk — Tue, 27 Feb 2024 02:19:14 +0900

2018-10-14 21:35:54

<지그재그 모델링 후의 관찰 포인트>

지그재그가 저절로 나타났든지 아니면 모델링을 통해 정착시켰든지 그 이후의 변화과정은 차후 발달을 예견하는 데 있어 아주 중요한 정보를 제공합니다. 다음은 지도시에 주로 관찰하여야 할 것들입니다.

■지그재그 숙달 속도

교재시야가 좁을수록, 학습탄력성이 약할수록 지그재그 풀이법을 익히는 속도나 그 수행속도가 떨어집니다. 이런 아이들에게는 교재 풀이 전에 교재 전체를 관찰할 여유와 시간을 가지도록 격려해야 합니다. 그러면 자기가 어느 위치에서 시작해서 어느 경로로 이동해야 하는지 예상할 수 있게 됨으로써 풀이 중에 헤매는 일을 방지할 수 있을 테니까요. 그러니까 관건은 교재시야입니다. 우리가 지그재그 풀이법을 지도해야 하는 일차적 이유가 바로 이것이죠.

교재 곳곳을 두루 살필 수 있는 교재시야를 확보하는 태도를 확립하게 되면 대뇌 전전두엽 영역을 활성화시킬 수 있습니다. 전전두엽은 대뇌의 총사령관으로 자신의 행동을 모니터하고 작업기억을 만들며 주의집중을 유지하고 계획성 있게 행동하도록 지시합니다.

지그재그가 완전 숙달된 경우 세트 당 끝번호대(#20, 30, 40 등) 1장의 표준완성시간은 대략 30초 전후입니다. 이것을 보고 숙달 여부를 판단할 수 있습니다.

■점프 가능 여부

예를 들어, 2+6에서 출발해서 3+6, 4+6, 5+6까지 잘 찾아 풀었는데 그 다음 있어야 할 6+6이 없고 7+6이 이어진다면 아이가 어떤 반응을 보이는지 특히 잘 관찰해 보세요. 아마도 다음의 세 부류로 크게 나눠질 겁니다.

▶첫째 그룹은(퇴행), 지그재그가 중단되고 6칸을 셉니다.

▶둘째 그룹은(보충), 4+6 밑에(7+6 위에) 원래 순서인 문제 6+6=12를 써 넣은 다음 7+6의 지그재그로 나아갑니다.

▶셋째 그룹은(대안), 잠시 멈췄다가 읊조린(생각한) 후 7+6=13으로 나아갑니다.

이중 세번째 그룹의 아이가 점프에 성공한 경우라고 할 수 있는데요, 지그재그 도중 이렇게 순서상 빠진 문제를 순간적으로 기억놨다가 그 문제의 답으로부터 건너가야 할 다음 문제의 답을 추리해 내는 것을 저는 점프라고 부릅니다.

점프가 가능하려면 우선 빠진 문제(6+6=12)를 잠시 기억하는 작업기억이 활성화돼야 하고, 이어서 그것에 근거하여 다음 문제의 답을 추리해내야 합니다. 이런 기능들이 지그재그 도중 반드시 발견되어야 합니다. 만일, 첫째 그룹과 같이 지그재그가 중단되는 아이라면 둘째 그룹처럼 문제들사이에 빠진 문제를 써 주세요. 그런 다음에 이런 점프상황에서 수세기로 또 퇴행하는지 아니면 돌아가지 않고 보충하는지 지켜보셔야 합니다. 둘째 그룹의 경우는 작업기억의 여유가 생기면 곧 셋째 그룹으로 넘어갈 것이기 때문에 걱정하지 않으셔도 됩니다.

■암기력/추리력과 오류발견 기능

암기력은 어휘력과 추리력, 일정한 복습주기에 따라 결정됩니다.

아마도 2A 학습중인 아이라면 국어는 AI 전후를 학습할 경우가 대부분일 것입니다. 국어 교재의 여러 구성요소가 다 중요하긴 하지만 저는 이야기책 읽기를 통한 음독연습을 가장 중시합니다. 그것이 어휘력을 쌓는 유일한 방법이니까요. 따라서 수학 학습을 위해서라도 이야기책 읽기 체크는 매주 지도시마다 꼼꼼히 하실 필요가 있습니다. 저는 어휘력이 부족한 아이일 경우, 이야기책의 한 이야기를 매일 한 번 씩 읽으라고 지시하기도 합니다.

한편, 어휘력이 좀 부족해도 수와 셈에서 암기력이 뛰어난 경우도 있습니다. 그 원동력은 추리력인데요, 이건 쉽게 말해 어떤 사실(전제)로부터 여러 가지 결론을 빠르게 도출해내는 능력입니다.

4+3이 7이면 4+4는 8, 5+3도 8, 14+3은 17, 13+4도 17 이런 식으로 무한히 확장할 수 있죠.

추리력이 높은 아이는 사실 굳이 외우려고 하지 않지만 반복학습에 의해암기력을 높이고 이윽고 암산에 무난히 도달하게 됩니다. 하지만 조심할 것은 이런 타입의 아이는 문장제에 약할 수 밖에 없다는 겁니다. 그러므로 어휘력이 추리력 수준과 보조를 맞출 수 있도록 균형을 잡는 것이 중요하겠지요.

대체로 여아들은 어휘력이 높고 추리력은 낮은 반면, 남아들은 어휘력이 낮고 추리력이 높은 편입니다. 그래서 어느 쪽이 더 우월하다 이런 얘기가 아니구요, 결국은 둘 다 높여야 하지 않겠습니까? 당연하게도 우수아들은 이 둘을 겸비하고 있으니까요. 정말 무서운 거죠.

암기력이 부족하고 자기조절이 결핍되면 오류를 스스로 찾지 못합니다. 즉, 오류발견 활동을 통해 우리는 아동의 암기력이나 자기조절능력을 확인할 수 있다는 것이지요. 오류발견 활동은 또한 자기점검 태도를 증진시키는데요, 이것은 A단계 이후 꼭 필요한 기능이라서 2A 학습 도중 반드시 연습되어야 합니다.

<지그재그 멈추기>

지그재그로 재미를 봤다고 해도 언젠가는 멈춰야 합니다. A단계는 아예 지그재그가 불가능한 교재로 바뀌니까요. 대체로 암기력이 뒷받침된 경우는 이른 시기에 지그재그를 스스로 멈춥니다. 그냥 교재 순서대로 푸는 게 더 빠르니까요. 하지만 대개는 2A 후반까지 지그재그에 의존하는 아이들이 많을 겁니다. 그런 아이들에게 2A 171~200은 지그재그를 멈추는 연습을 하기에 더할 나위 없이 좋은 기회입니다. 그러니까 이 부분에서 앞서 말씀드린 지그재그의 숙련도 및 점프기능, 그리고 여기에 암기력과 오류발견 기능의 여부도 같이 종합적으로 체크해야 합니다.

<A단계 교재수행 도구: 추리와 역산>

2A단계 주요 교재수행 도구가 지그재그라면, A단계의 그것은 추리와 역산입니다.

물론, 암기는 거기에 부속되지요. 추리는 전제와 결론의 형식을 갖는 사고방법입니다. 확고부동한 전제로부터 결론을 유도해내는 것이 추리이기 때문에 전제에 해당하는 암기력의 도움이 필요합니다. 암기범위가 넓을수록 추리해내야 할 대상도 적어지므로 작업기억의 부담을 덜 수 있겠지요.

■암기전략1. 덧셈조합 분류하여 외우기

A단계는 주어진 문제의 피가수, 가수의 규칙성이 없는 대신에 서로 답이 같은 또는 유사한 문제들을 배치해서 일종의 덧셈조합을 형성하도록 유도합니다. 이것을 이전 자기조절 강의에서 '분류하기 전략'이라고 말씀드린 적이 있을 겁니다.

서로 답이 같은 문제들을 몇 개의 항목으로 묶어서(청킹:chunking) 외우면 작업기억의 부하도 줄일 수 있죠.

사실, 2A 학습 도중에도 합수 10 이하의 덧셈조합은 가급적이면 중간 중간 정리해서 외우게 하는 것이 좋습니다. 이것이 A단계에 이르렀을 때 초기 학습부담을 줄여줍니다.

그런데 A단계 전반부의 덧셈조합을 한자리수+한자리수로 답이 10이 넘는 조건으로 합수 11에서 18까지 정리하면 다음과 같습니다.

보다시피, 합수 11~14까지는 조합이 14개인 데 반해 합수 15~18까지는 6개에 불과합니다. 외워야 할 조합이 2배 차이가 난다는 것은 합수 11~15사이가 몰려있는 A #11~30 사이를 #31이후보다 2배 이상 연습시켜야 한다는 뜻입니다. 이것을 잊지 마세요.

학습능력이 보통이나 보통이하라면 일주일 동안 연습해야 할 덧셈조합의 수를 8개 이하로 줄이는 게 바람직합니다. 작업기억의 용량이 7(+-2)라고 말씀드렸지요? 학습능력이 부족할수록 일정 범위를 넘지 않고 정해진 조합을 집중적으로 연습하는 것이 효과적입니다. 그럴려면 한 주에 같은 세트를 겹쳐서 가져가야 합니다. 이것을 구몬에서는 복진도라고 하지요.

복진도로 진행 중인 아동의 진도그래프입니다. 이 아동은 중상 정도의 학습능력을 가졌습니다. 보통이나 그 이하일 경우 누적 학습량은 이것의 2배 전후가 될 겁니다.

교사는 아동에게 지속적으로 조합 단위의 암기목표를 주어야 합니다.

위와 같이 표지에 적어주는 것이 가장 좋겠지요. 그리고 학습 전이나 후에 질문해서 조합별로 익히고 있는지 점검하시면 됩니다.

저는 때때로 전화번호 외우기와 같은 방식을 코칭하기도 하는데 이를테면, "더하면 11이 되는 수들은?"이라고 질문하면 "9283-7465"와 같이 대답하도록 연습하는 겁니다.

그런데 요즘 아이들 디지털 치매가 많다더니 정말로 예전에 비해 전화번호 외우기를 힘들어 하는 아이들이 많더군요.

■암기전략2. 머리셈 구구

구구단이라고 하면 으레 B단계 후반쯤에나 연습해야 하는 것이라고 생각하는 분들이 많겠지만 저는 A단계부터 연습시킵니다. 그냥 미리하는 건 아니고 지금 학습에 직접적으로 도움이 되도록 하기 위해서죠. 단 2~5단으로 국한해서 연습합니다.

일반적인 구구단 연습 같은 건 아니고 배수만 건너 세는데요, 예를 들어 2배수면 20에서 멈추도록 지시해 둡니다.

머리셈 구구를 처음 연습시킬 때는 반드시 숫자판으로 각 배수를 직접 놓아보게 한 뒤 그 수들을 읽는 것으로 시작해야 합니다. 수와 수 사이의 일정한 간격과 일정한 배열을 눈으로 직접 보고 익히는 것이 중요하기 때문입니다.

머리셈구구는 시작하는 수, 변량(각 배수의 간격), 그 다음 수를 머릿속에 임시 저장(작업기억)하면서 연속적으로 값을 출력하는 활동입니다. 그렇기 때문에 단기기억력 향상 및 머리셈 능력의 기초를 형성할 수 있습니다.

■추리전략1. 상보원리 이해

암기력은 추리의 기본 전제이자 추리의 부산물이기도 합니다. 암기된 전제가 있어야 추리할 수 있지만 추리를 통해 나온 결론들은 새로운 암기를 유발시키기 때문이죠. 그런데 전제(암기)가 올바르더라도 추리가 합리적으로 이뤄지지 않으면 교재 풀이는 수시로 암초에 걸리게 될 것입니다. 그래서 우리는 보통이나 그 이하의 학습자들에게 가르칠 추리전략을 가지고 있어야 하죠.

앞서 말씀드린 암기전략 중 덧셈조합은 그냥 구구단처럼 외우게 하기 보다는 이해를 시킨 후 외우게 하셔야 합니다. 그 이해를 도와줄 방법이 상보원리입니다.

예를 들어, 사탕이 12개 있고 A와 B가 10개, 2개로 나눠갖고 있다고 상황을 만듭니다. 저는 보통 A와 B에 대하여 유명한 바보들인 영구와 맹구를 동원하죠. 이 상태에선 맹구가 불만이겠지요? 그래서 영구가 가진 사탕 하나를 뺏어서 맹구에게 줍니다. 이렇게 총합은 그대로인 상황에서 둘이 가진 갯수만 바꿔보는 걸 직접 시연해 주시면 됩니다. 그러면 결국 덜어낸 만큼 채워도 총합은 달라지지 않는다는 걸 알게 되죠.

중요한 건 시연 후 반드시 아동이 교사의 시범대로 따라 말하도록 해야 한다는 것입니다. 자기의 언어로 말해야 비로소 생각하게 되고, 그 생각이 쌓여야 자기의 지식(내면화: Internalization)이 될테니까요.

"8+4에서 8을 하나 줄여 4에 주면 7+5, 그래서 8+4와 7+5는 같습니다" 이런 식으로요.

시연은 11과 12 정도만 해주시면 됩니다. 둘을 비교하면 똑같이 나눌 수 있는 수와 그렇지 않은 수의 차이도 알게 됩니다. 짝수와 홀수라는 단어는 그런 개념이 채워진 후 알려주시면 되구요.

■추리전략2. 유도하기

상보원리를 잘 이해하고 있다고 해도 그것을 추리에 써 먹을 수 없으면 무용지물이지요. 그래서 우리는 때때로 교재풀이를 직접 시범보여야 할 수도 있습니다. 시범의 핵심은 유도하기인데요, 풀어놓은 문제들과 지금 풀 문제들을 비교해서 최적의 전제를 찾고 거기서 지금 문제의 답을 유도하는 걸 가르쳐 주는 것입니다.

당연하지만 교재 초반부는 쉬운 전제들이 될 수 있는 문제들이 상단에 배치됩니다.

이때, 모델링의 초점은 최적의 전제를 찾는 것으로부터 알맞은 연산법칙 적용과 결론유도 과정을 세밀하게 보여주는 것에 있습니다.

▶문제 비교 및 최적 전제 찾기

"풀어놓은 문제는 다음 문제의 힌트다"라고 알려주세요. 항상 풀어놓은 문제와 지금 풀어야 할 문제를 비교하도록 만들어야 합니다.

그 다음은 최적의 전제를 빠르게 고를 수 있어야 하는데요, 지금 풀어야 할 문제에 대해 가장 쉬운 힌트가 되는 문제(최적 전제)를 찾는 것은 여러 번의 시행착오를 거쳐야 합니다. 아마도 아이들은 유도하기 모델링 중에 이걸 제일 어려워 할거에요. 교재시야의 개인차 때문이죠.

위 예시에서 (15) 2+7의 최적 전제는 의심할 나위없이 7+2=9이겠지요? 그런데 (18) 4+8은 눈에 띄는 전제가 보이지 않습니다. 이때는 주어진 문제의 수와 같거나 가장 가까운 수를 가진 조합의 문제를 찾아봐야 합니다. 이게 아마 지도시에 도움이 될 거에요.

▶알맞은 연산법칙 적용하기

○교환법칙

2A에서 교환법칙을 활용한 암기연습을 해야 한다고 말씀드렸죠? A단계에서는 서로 교환관계에 있는 문제들을 같은 것으로 빠르게 인식할 수 있어야 합니다. 그런데 아이들을 관찰해 보면 놀랍게도 교환관계의 두 문제를 골라내는 능력은 수리력보다는 도형추리에 의존하는 경향이 있습니다.

예를 들어, ★●◆와 ●◆★가 서로 상동임을 인지하는 아이는 6+3과 3+6이 같음을 빠르게 캐치합니다.

순서에 관계 없이 전체 및 총량은 같음을 이해하는 데 도형추리까지 필요하다니 놀랍죠?

위 예시에서 보듯이 교환법칙은 최적 전제를 찾는 과정뿐만아니라 연산법칙을 적용하는 과정에서도 아주 중요한 수단입니다.

○수의 변량 감지

두 문제를 비교하면서 수의 증감 정도, 즉 변량을 민첩하게 알아차려야 합니다. +-3 정도는 바로 계산될 수 있을 정도로 말이죠. A단계 전반부까지는 아직 뺄셈을 배우지 않았지만 아이들은 생활개념으로 어느 정도는 빼기를 할 수 있습니다.

물론 +변량보다는 -변량이 좀 더 어렵겠죠. 그래서 가급적 전제는 당면 문제보다 수가 작은 걸 고르는 게 좋습니다. 그래야 +변량을 이용할 수 있으니까요.

○상보원리

(20)번 9+3을 봅시다. 이 문제의 전제를 4+8로 잡으면, 교환법칙에 따라 4+8=8+4이고 이것은 다시 상보원리에 따라 피가수와 가수가 1씩 주고 받았을 때 (8+1)+(4-1)=9+3, 총합은 달라지지 않으므로 12가 됩니다. 유도 모델링 중에는 상보원리를 최대한 자주 시연해 주셔야 합니다. 상보원리에 통달되면 암산에 바로 접근할 수 있기 때문이죠.

○복수전제

최적 전제가 달라도 결론은 같아야 합니다. 예를 들어, (20)번 문제인 9+3에 대하여 예시에서는 (18)번 4+8=12를 상보원리를 통해 풀어보였는데요, 이 문제는 (17)번 2+9=11을 전제로 풀 수도 있습니다. 2+9=9+2=11이므로 9+3은 12, 이런 식으로요. 때때로 교사는 동행수행(모델링을 아동과 함께 함)등을 통해 이렇게 여러 전제로부터 풀어내는 시범을 보여야 합니다. 다양한 복수의 전제로부터 문제를 해결할 수 있음을 알게 하는 동시에 아동에게는 아동 스스로에게 가장 쉬운 최적 전제에 대해 생각해 보도록 하는 것이죠.

위 교재는 제가 모델링한 것을 토대로 학습하고 있는 한 아동의 풀이 모습입니다. 이렇게 '유도하기'로 푸는 동안에 아동은 계속해서 소리내어 말하면서 풀도록 지시받고 있습니다.

혼잣말의 효과를 이용하는 것이지요.

예를 들어, "7+5는 12니까 8+5는 13" 이렇게요. 당연히 교재 풀이속도는 더딜 수 밖에 없습니다. 그래도 좋습니다.

이렇게 2~3주간 연습해 놓으면 혼잣말로 다져진 '사고'는 언어적 사고 안에 확실하게 편입될테니까요.

MSM시뮬레이션: 안나를 위하여 3 -지그재그 도사 만들기

postk — Tue, 27 Feb 2024 01:46:50 +0900

2018-10-08 01:02:23

다시 안나 이야기로 돌아와 보죠. 2A 더하기 4 무렵에 지그지그 모델링을 통해 교재 수행방식을 바꾼 뒤로 안나는 빠르게 적응해 갔습니다. 이젠 더 이상 이렇게 풀어도 혼낼 사람이 없으니까요.

<지그재그는 왜 나타나는가?>

타의에 의해서가 아닌 자발적인 이유로 지그재그를 시작하는 아이들의 문제의식은 바로 '암기력 부족'입니다.

몇 번을 풀어도 생각이 나지 않기 때문에 매번 '세어야만' 하죠. 그런데 안타까운 건 '세는 활동'을 하느라 문제의 배열이나 규칙성같은 걸 곰곰히 관찰할 에너지도 남지 않게 된다는 거죠.

이건 마치 국어에서 글자를 읽느라 본문을 다 읽어 놓고도 무슨 소린지 이해를 못하는 거랑 판박이처럼 똑같은 현상입니다. (작업기억 용량 부족)

국어라면 본문을 몇 번이고 다시 읽히면 이해를 하게 된다지만 수학은 이미 푼 문제를 다시 푸는 법은 없잖아요? 그러니 '풀이'는 있고 '이해'는 없게 되는 거죠. '이해'가 없으면 '암산'도 없게 되죠.

결국 영특한 아이라면 이해할 에너지마저 다 쏟아 부어서 풀이에 몰빵하기 보다는 '이해에 충당할 에너지'를 아껴야 한다고 본능적으로 느낍니다. 그럴려면 '풀이'를 보다 효과적으로 빠르게 할 수 있는 방법을 구안해야만 하죠. 이렇게 작업기억 용량이 제한적일 때, 그리고 '풀이'에 할당할 에너지를 일정 비율 이하로 줄여야 할 때 '지그재그'가 출현하는 겁니다.

<지그재그의 효과>

(1) 많은 학습량 가능

제 지도경험에 비추어 볼 때, 보통아에게서도 지그재그의 자발적인 출현율은 적어도 4~50%는 된다고 생각합니다.

그런데 이걸 학부모나 교사가 가로막고 못하게 하는 거죠.

보통아의 나머지 50% 가량은 자기 스스로는 지그재그의 가능성을 발견하지 못합니다. 이른바 '고착(Fixation)현상' 때문이죠. 현재의 도구(정신의 도구)를 버리지 못하고 고수하는 겁니다. 결국, 한 문제 한 문제 차분히 성실히 세어야 하죠.(손가락은 덤)

그런데 더하기 과제는 계속 커지잖아요? +1에서 +9로. 더하기 1~5 정도야 일일이 세어도 별 차이 없다고 느낄지 모르겠습니다. 그런데 더하기 6 이상이 되면 '세기'의 정확도가 눈에 띄게 떨어지는 현상을 발견할 수 있을 겁니다. 6+7을 12나 14로 틀리는 것처럼요. 이걸 틀렸다고 지적하면 다시 세어서 그 문제는 맞출 수 있겠지만 전체적으로 정확도는 크게 나아지지 않을 겁니다. 왜 그럴까요?

인간의 기억범위는 숫자든 문자든 항목(item) 수 7(+-2)의 제한을 받습니다.

만일, 14528413라는 수가 제시됐다고 칩시다. 제시된 수를 있는 그대로 처리할려면 우리의 작업기억용량은 8개의 항목이 필요하죠. 7(+-2)의 제한을 최대치로 사용한다고 해도 이걸 기억하기란 쉽지 않죠. 그런데 이걸 가공해서 1452-8413으로 이등분하면 항목 수가 2로 줄어들게 되죠. 이렇게 작업기억에 할당할 항목 수를 줄이는 기억기술을 청킹(chunking:묶기)이라고 합니다.

6+7을 풀 때, 6,7,8,9,10,11,12,13까지 정확하게 7칸을 세려면 출발점(6), 세어야 할 갯수, 현재까지 센 수, 마지막으로 센 수를 기억해야 하고 동시에, 순차세기의 정확도, 얼마나 세어야 하고 얼마나 남았는지에 대한 자기조절, 그리고 언제 세기를 멈춰야 하는지의 자기조절(실행제어)이 모두 맞아 떨어져야 합니다. 적어도 4개의 기억 항목, 그리고 여기에 3 종류의 자기조절이 가미되어야 하죠. 이 단 한 문제에 기억항목 4개입니다.

구몬수학 2A 한 페이지의 문제가 보통 8~10문제인데 8문제라고 치면 한 페이지에 전체 기억항목이 32개나 되는 겁니다. 그러니 문제풀다 말고 딴청피울 수 밖에 없습니다. 작업기억 용량을 초과해버려서 집중할 수가 없으니까요. 이쯤되면 그냥 노동이죠.

반면, 지그재그로 푸는 아이들에게 필요한 기억항목은 한 페이지 당, 단 3개입니다.

지그재그 출발문제의 답(1+7=8의 8), 그 다음 순서의 피가수(2+7=의 2), 방금 푼 문제의 답(2+7=9의 9) 이렇게요. 이렇게 하면 7(+-2)의 기억범위에서 절반 밖에 소모하지 않게 됩니다. 게다가 지그재그로 푸는 아이들은 풀이 속도가 세는 아이들에 비해서 2배 가까이 빠릅니다. 집중시간도 초과하지 않게 되죠. 세는 아이들 보다 지그재그로 푸는 아이들이 결과적으로 같은 시간동안 더 많은 문제풀이경험을 갖게 됩니다. 이건 학습량을 고려하는 데 있어 아주 중요한 기준이 되죠.

(2) 작업기억의 여유와 넓은 시야 확보

보통아일수록 교재시야를 넓혀주어야 한다고 말씀드린 거 기억하시죠? 세기로 문제를 풀고 있는 동안에는 기억용량의 한계로 한 번에 한 문제 밖에 볼 수 없습니다.

반면에 지그재그로 푸는 아이들은 반드시 이전에 푼 문제와 지금 풀어야 할 문제, 그리고 다음 풀게 될 문제를 동시에 관찰해야만 하기 때문에 한 페이지 전체를 폭넓게 바라봐야만 합니다. 그렇게 시야가 넓어졌음에도 작업기억의 부하량은 오히려 셀 때보다 줄어들게 됩니다. 이것이 교재 안의 문제배열이나 규칙성 등을 관찰할 수 있는 여유와 계기를 만들죠.

(3) 암기력과 추리력 증진

지그재그는 작업기억의 부하를 적게 걸기 때문에 잉여자원(Surplus)이 남게 됩니다. 이 자원은 보다 창의적이고 지적인 활동을 하는 데 쓰일 수 있습니다. 지그재그로 푸는 아이들은 교재의 규칙성을 이용하여 문제를 풀고 있기 때문에 규칙성이라는 밭을 갈고 있다고 비유할 수 있습니다. 거기에 씨를 심고 물을 주고 잡초도 뽑아주고 하면서 그 결과물로서 '씨'의 상태와는 전혀 다른 '열매'를 얻게 되는데요, 그것이 암기력과 추리력입니다.

물론, 지그재그 상태에 들어간 아이들 가운데서도 개인차는 있습니다. 제가 관찰한 바에 따르면, 국어 AI 혹은 AII 지문읽기에서 30초 내(실제로 유창한 읽기속도는 20초 내외)의 유창성이 확보되면 지그재그로부터 암기력, 추리력의 발달이 순조로운 편임이 확인되었습니다.

그러나 만일 읽기속도나 유창한 읽기가 부합되지 못한다면 지그재그 자체의 발달은 물론 그 이후의 지적표준에 있어서도 문제를 갖게 될 가능성이 높습니다. 이것을 통해서도 암산에 이르는 과정에 어휘력이나 독해력이 얼마나 결정적인지 알 수 있지요.

<지그재그 모델링 방법>

일반적으로 지그재그가 자발적으로 나타나는 시기는 +4이후입니다.

물론 +4 이전에도 지그재그를 쓰는 아이들이 있긴 하지만 특수한 경우고요, 모델링을 고려해야 하는 시점은 +4 도입시기가 적당합니다. 보통아에게 있어서 +4이전에 지그재그를 섣불리 모델링하시면 안됩니다. 수세기 방법으로 기본적인 덧셈은 처리할 수 있도록 훈련되어야하며, +3까지 왠만한 문제는 어느 정도 외울 정도로 연습될 필요가 있습니다. 당연하지만 수세기의 민첩성이나 정확도가 일정 속도 이상 유지됨으로써 지그재그의 자발적 출현 가능성이 담보되기 때문입니다.

+4를 도입할 때 교사는 우선 아이가 푸는 모습을 관찰(주시)해 봅니다. 지적표준 모델링의 COOC 사이클 기억하시죠?

주시는 대개 2~3주 정도 지켜보시고 아이에게 지그재그가 출현할 가능성이 없다고 판단될 때 타조절 단계로 들어가서 지그재그 모델링을 실시하시면 됩니다.

모델링은 흉내내기입니다. 지금 교재를 풀고 있는 어떤 아이(지그재그모델)처럼 푸는 모습을 아이로 하여금 지켜보게 하는 겁니다.

이때 주의하실 것은, 교사의 언어가 아닌 모델의 언어로 풀어보여야 한다는 것입니다. 그래야 아이 입장에서 따라하는 데 부담을 덜 느끼게 될 테니까요.

지그재그 모델링의 예

교사: 안나, 이번에는 선생님이 여길 풀어볼 테니까 네가 구경해볼래? 문제는 선생님이 풀지만 사실은 선생님이 아는 어떤 친구가 푸는 모습을 흉내내는 거란다.

안나: 네

교사: 자 시작한다.

“가장 쉬운 문제를 찾아야겠어. 어, 여기 1+4는 5, 그 다음은 2+4인데 어딨지? 아 요기 있네. 그럼 2+4는 6, 다음 3+4는 7이고 4+4는 8이지. 5+4는 여깄네, 5+4는 9이고 그럼 6+4는 10이야”

적어도 모델링을 하는 동안에는 목소리도 아이처럼 바꿔 보세요. 지켜보는 아이는 재밌어하면서도 부담없이 친근하게 관찰할 수 있을 겁니다. 이렇게 정서적으로 친근하고 포용적인 환경을 만드는 일도 교사의 임무 중 하나입니다.

모델링을 실시한 후에 아이로 하여금 따라해보게 합니다. 처음엔 문제를 잘 찾지 못할 겁니다. 시야가 좁으니까요. 그래서 교사가 조금 보조해주어야 할 겁니다. 그렇게 1~2주 정도 지나면 혼자서도 잘해내는 수준까지 따라와 줄 겁니다.

<동행수행>

문제는 고착이 심한 경우, 그러니까 고집이 센 녀석들이지요. 이 놈들은 따라하기까지는 잘 하는데 정작 다음에 풀어보라고 하면 이전에 풀던대로 그대로 있습니다. 이유야 여러 가지지만, 한 마디로 귀찮은거죠.

이럴 때는 '동행수행'이라는 방법을 써야만 합니다. 모델링을 교사와 아동이 함께 수행하는 겁니다.

동행수행의 예

교사: 안나, 오늘은 선생님이랑 같이 문제를 풀자꾸나.
안나: 네
교사: 자 시작한다.

교사: “교재를 쭉 훑어보고 가장 쉬운 문제를 찾아보자.”

안나: “요기 1+4요”

교사: “그래 1+4는 뭐였더라?”

안나: “5에요”

교사: ”그렇지, 그럼 다음은 2+4를 찾아봐야겠네. 어딨지?”

안나: “여깄어요.”

교사: “그래, 아까 1+4는 5였으니까 2+4는 6이겠네. 다음은 뭐 찾아야 하지?”

안나: “3+4요, 여기요”

일반적으로 동행수행은 아동에게 해당 과제의 어려움을 교사와 함께 나누고 혼자 풀어야 한다는 부담을 덜게 함으로써 자립할 수 있도록 돕기 위한 스캐폴딩 기술 중 하나입니다. 그러니까 보통은 새로운 도입과제나 심화과제에 어울리죠.

그러나 여기서 동행수행의 주목적은 아이로 하여금 '지그재그의 방법'을 더욱 잘 숙지하도록 돕는다는 것에 있다기 보다는 아이의 '귀찮음'을 유발시키기 위한 것입니다.

대체로 모델링을 자기 것으로 내면화하지 않는 아이는 왜 그렇게 풀어야 하는지, 그렇게 풀면 뭐가 좋은지에 대해 생각해보지 않았거나 그마저도 귀찮은 경우라고 할 수 있습니다. 이유를 모를 때는 직접 해보면 편하다는 걸 느낄 수 있을테니 사실 긴 설명은 필요 없고, 대개는 귀찮음이 가장 큰 이유죠. 뭔가 바꾸는 게 귀찮은 겁니다. 그런데 어쩌겠습니까? 안 바꾸면 멸망인걸요???!!!

지그재그 풀이가 주요 교재수행수단이 될 때까지 교사는 모델링과 동행수행을 통해 강력하게 끈기있게 밀어 붙여야 합니다. 아이를 못바꾸면 그 집 수업도 얼마 못갈테니 목숨 걸어야 합니다.(^^;)

<메타인지 피드백을 적절히 섞어라>

이렇게 지그재그가 안착이 됐다면, 메타인지 피드백 지도법을 본격적으로 가동시킬 때가 온 겁니다.

2A에서 주로 연습하기 좋은 요소는 '오류발견'입니다.

오류발견은 채점을 하시고 틀린 페이지 몇 장을 꼽아 상단에 틀린 갯수만 적어주고 수업에 가져가서 찾아보게 하는 겁니다. 오답 1개당 1분 정도 시간을 주시고 그 시간을 충분히 쓰도록 지시해 주세요.

지그재그 풀이법에 고도로 단련돼 있는 아이일수록 오류발견을 잘 해냅니다. 같은 단계에서 세기로 더하기를 하는 애들이 틀린 문제를 스스로 찾아 고치는 것이 가능한지 혹은 얼마나 빠른지 한 번 비교해 보세요. 확연히 차이가 날 겁니다.

<암기-추리-교환모델링을 병행하라>

2A에서 지그재그에 익숙해졌다면 수시로 암기-추리-교환 모델링을 병행하셔야 합니다.

2A는 암기를 활성화시키는 단계이지 암산을 정착시키는 시기가 아니라서 아이들은 외우고 까먹고를 반복할 겁니다. 특히 이전 과제의 더하기는 그냥 다 까먹는다고 보시면 됩니다. +5이후, +7이후, +9~10이후 섞어놓은 종합연습이 있는데 아이들은 이런 과제에 특히 취약하죠. 그래서 +4이후 꾸준히 암기할 과제를 주는 게 중요한데요, 제가 쓰는 방법은 쌍둥이 문제 외우기입니다.

-쌍둥이 문제 외우기

1+1, 3+3, 5+5, 8+8과 같이 같은 수끼리의 덧셈문제를 답과 함께 외우는 겁니다.

-바꿔 더하기 문제 외우기

2A에서 아이들은 아직 문제 경험이 많지 않기 때문에 더하기 1문제는 일반적으로 굳이 외우지 않아도 쉬운 반면에, 그 교환된 문제는 어려워 합니다. 즉 7+1=8은 자연스럽지만 1+7은 껄끄러운 거죠. 이걸 교환법칙으로 굳이 설명하는 대신에 더하기 1로부터 바꿔 더하기, 더하기 2로부터 바꿔 더하기 등으로 문제의 어려움을 상쇄시키는 겁니다.

7+1=8, 1+7=8 / 9+2=11, 2+9=11과 같이 먼저 읽으시고 복창하도록 진행하시면 됩니다. 이때, 사무실에 있는 덧셈표가 도움이 될 수 있겠군요.

이런 암기문제는 지그재그를 하다가 혹시 이상한 곳이 있을 때 정답의 여부를 판별하는 중요한 기준점이 됩니다.

이와 아울러 종종 교재를 푼 즉시 문제를 불러주어 머리로 답하도록 해보실 필요가 있습니다. 암기력도 체크하고 숫자의 널뛰기에 아이가 얼마나 능동적으로 움직이는지도 관찰할 수 있습니다.

"1+7은? 3+7은? 2+7은? 4+7은? 5+7은? 7+7은?" 이처럼 +7 앞의 피가수를 순차적으로 진행하다 1,2 간격으로 늘였다 줄였다 이런 식으로 물어보시면 됩니다.

때로는 한 문제의 답을 가르쳐 주고 이어지는 문제의 답을 물어볼 수도 있습니다. 예를 들어,

"7+7는 14입니다. 그럼 9+7은?" 이렇게요. 이런 질문들은 장차 지그재그 이후 나타나야 할 추리력을 강화시켜 줍니다.

MCF 메타인지 피드백의 이해 4. 지도모형(오류발견-궁리-진도결정)

postk — Tue, 27 Feb 2024 01:20:30 +0900

2018-10-05 22:53:16

<2-4>넷째 주 I. 오류발견

오류발견은 오답의 개수만을 가르쳐준 상태에서 아동이 직접 자기가 푼 교재의 오답을 발견하여 수정하는 것이다.

(오류발견=오답발견+오답수정)

교사는 수업 전에, 채점하는 동안 전형적인 오류가 나타나는 부분을 골라 그 페이지의 상단에 오답의 개수를 써둔다. 이것이 오류발견수업의 교재(오답샘플)가 된다.

수업은‘나의 생각점검표’ 3단계(문제풀이후)를 읽어보는 것으로 시작된다. 그 중에서도 특히 ‘내가 어려웠던 문제’나 ‘내가요즘 많이 틀렸던 문제’가 무엇이었는지 지난 주의 모니터링 결과에 대한 아동의 자기점검수준을 파악해두는 것이 무엇보다 중요하다. 만일, 아동이 자기가 주로어떤 문제를 어떻게 틀리는지에 대해 잘 모르거나 말하지 못하면(낮은 자기점검수준), 지난 주의 모니터링 결과를 간단히 언급해 준다.

ICL읽기가 끝나면, 오류발견활동의 규칙을 설명해 준다.

오류발견시간은 아동의 평소 교재풀이시간 보다 훨씬 많이 걸린다. 교재풀이시간은 아동의 인지적 수준(얼마나 아는지)을 보여주지만, 오류발견시간은 아동의 메타인지 수준(왜 그렇게 되었는지 반성, 점검, 조절함)과 관련되기 때문이다.

(참고로, 교재풀이시간은 표준완성시간이 아니다. 표준완성시간은 오류발견을 포함하여 100점받기까지 걸리는 시간을 의미한다)

또한 오류발견시간은 오답의 개수와 밀접한 상관관계가 있다. 연구팀이 3A~A단계를 학습중인 아동들을 대상으로 실험한 결과에 따르면, 오답 1개를 찾아내는 데 빠른 경우 20~30초 정도가 걸리지만 만일 1분이 넘어가면 아동 스스로 포기하려는 경향이 강해진다. 따라서 오답 1개당 1분 정도의 시간을 주는 게 바람직하다.

아동이 오류발견을 하는 동안에 교사는 아동의 반응을 주시하여 적절히 힌트를 제공해 주어야 한다. 자주 틀렸던 문제, 혹은 문제를 자주 틀리게 만들었던 원인 등을 말해주는 것도 좋다. 그런데 때때로 오류발견을 처음 하는 아동의 경우, 스스로 검산해보지않고 아무 문제나 짚으며 “이거에요?”라고 교사를 떠 볼수 있다. 이때 만일 아동의 질문에 답해주면 그것은 오류발견이 아니라 찍기에 지나지 않게 된다. 이런 아동의 불명확한 태도에 휘말려 틀린 문제를 가르쳐주는 우를 범하지 않도록 주의해야 한다.

교사는 아동이 오류를 바르게 잡아냈는지 아닌지를 즉시 가르쳐주지 말고, 오류발견활동에 주어진 시간이 종료되었을 때 그 결과를 말해주어야 한다. 또한 시간이 다 되기도 전에 아동이 모든 오류를 찾아낼 수도 있는데, 이때에도 바로 끝낼 것이 아니라 아동에게 ‘모든게 확실한지 확인’하도록 발문한 뒤 아동의 결정을 기다려야 한다. 아동이 자신의 활동을 중지할 것인지 계속할 것인지를 판단하여 결정하는 것도 메타인지이다. (실행제어: Executive Control)

오류발견시간동안 오류를 찾지 못하거나 남은 오답이 있을 수 있다. 이때에는 오류발견활동이 끝난 즉시 오답을 표시하여 모니터링 단계로 복귀한다. (‘모니터링 피드백단계’ 참조)

오류발견수업에 쓰였던 오답샘플교재는 오답노트에 부착해 둔다.

다음은‘오류발견단계’의 수업 예시이다.

[오류발견수업: D#161~170]
수업의 절차	수업내용
4-1단계 (ICL읽기)	⊙교사: “오늘은 네가 틀린 문제를 직접 찾아내서 고쳐볼 거야. 그 전에 먼저 ‘나의 생각점검표’에서 3단계를 읽어보자.” ⊙아동: “네.” ① 문제와 답을 함께 보자, 이 답은 이 문제에 어울리는가? ② 좀 더 쉽게 검산하는 방법은 없는가? ③ 내가 어려웠던 문제는 무엇인가? ④ 내가 요즘 많이 틀린 것은 무엇인가? ⑤ 모든 것을 검토했는가? ⑥ 모든 것이 옳은가? 그렇지 않다면 처음부터 다시 하자. ⑦ 이 문제를 푸는 데 더 좋은 방법이 있는지 생각해 보자. ⑧ 나는 잘할 수 있다는 자신감이 생겼는가? ⊙교사: “요즘 네가 어려웠던 문제가 뭐였는지 생각해 보렴. 그리고 지난 주에 우리가 틀린 이유 설명하기를 해보았잖니, 그때 네가 자주 틀렸던 문제가 무엇이었는지 기억하고 있니?” ⊙아동: “어.. 똑 같은 수로 나누지 않아서 틀렸구요..” ⊙교사: “또?” ⊙아동: “음.. 또..큰 수로 나눠야 하는데 작은 수로 약분해서 틀렸어요” ⊙교사: “그렇지. 자, 첫 번째 페이지는 이곳이야. 모두 4개가 틀렸는데 네가 말한 것처럼 모두 같은 이유로 틀린 게 아니니까 잘 찾아보렴. 오답을 찾았으면 문제에 V표를 해두고 바로 고치는 거야. 오답이 4개니까 시간은 4분 줄게. 그럼, 시작해 볼까?” ⊙아동: “네”
4-2단계 (오류발견)	---오류발견 중--- ⊙아동: “찾았다. 2/8는 1/4이고, 또.. 4/12는 1/3..그리고 6/18은..아, 잘못 나눴네. 6으로 나누면 1/3이지.. 또..” (◀메타인지-반성, 실행제어) ⊙아동: “한 개 남았는데 뭐지?” ⊙교사: “네가 자주 틀렸던 이유를 생각해 보렴” (◀단서제공) ⊙아동: “음..” ⊙아동: “뭐지?.. 아! 6/8이 또 나눠지는구나. 그럼 18/24니까 6으로 나눠보면.. 3/4, 맞죠?” (◀메타인지-반성, 실행제어) ⊙교사: “아직 시간이 남았는데 만일, 모든 게 확실하다면 검산을 끝내도 좋아. 그렇게 하겠니?” (◀메타인지 발문) ⊙아동: “네, 다했어요.” (◀메타인지-실행제어) ⊙교사: “그래 잘했구나. 4개 틀린 것을 2분 20초 만에 잡아냈어. 목표대로 움직였고, 작은 수로 나누는 실수까지 찾아냈구나. 이 정도면 조만간 틀리지 않고 풀 수 있게 될 거야. 수고했다.” ⊙교사: “다음 주에는 네가 다음 진도를 나가는데 얼마나 준비됐는지 알아보자.”

<2-5>넷째 주 II. 모니터링 피드백

넷째주 오류발견 수업에서 아동이 오류발견에 실패할 경우(부분 혹은 전체), 교사는 즉시 오답을 표시하여 모니터링 단계로 복귀해야 한다. 이것을 모니터링 피드백이라한다.

이때는 모니터링단계의 두 번째 과정인 ‘오류지적과오류설명하기’에 초점을 맞춰 진행한다. 교사는 아동의 반응에 따라 다음 주에 어떤 단계로 이행할 것인지를 결정해야 하는데, 아동이 모니터링 피드백에서 긍정적인 반응을 보였다면 차주에 오류발견단계로 다시 갈 수도 있겠지만, 만일 그렇지 않다면 ‘관찰단계’로 되돌아가서 아동의 상태를 더 지켜보는 것이 필요하다.

<5-6>다섯째 주 I. 궁리

다섯째주에 접어들 무렵 아동이 도입단원에서의 적응 및 수행이 원활하게 이루어지고 있다면 사고의 단계를 도약시킬 수 있는지 확인해 볼 수 있다. 이것이 궁리이다.

궁리(Thinking over)는 교재 안에서 다뤄지는 여러 가지 수학적 주제들에 대해 아동에게 물음으로써 아동에게 수학적 추론이나 반성적 사고, 일반화의 사고 등을 촉발시킬 수 있다.

연구팀은 지난 2007년 연구논문의 부록으로 ‘발문예제’(3A~F)를 발표한 바 있는데 이 중 일부가 메타인지 피드백 수업의 궁리에 해당한다.

여기서는그 중 B,C,D단계에 속하는 예제를 소개할까 한다.

교재	발문	관련사고
	Q1> “0÷3”은 왜 0일까요? Q2>”3÷3”은 1입니다. 그렇다면 30÷30은 무엇일까요? Q3> 0÷3=0입니다. 3÷0은 무엇일지 생각해 보세요	추론 반성 일반화 확산적 사고
	Q1> 어느 쪽의 답이 크겠습니까? Q2> 큰 쪽은 작은 쪽 보다 얼마나 크겠습니까?	직관 추론
	Q1> 두 문제를 비교하여 같은 점과 다른 점을 말해 보세요. Q2> 답을 한 번에 쓸 수 있는 것은 어떤 경우입니까?	추론 반성 일반화

메타인지피드백에서 궁리는 주로 E-F단계 이후에 집중돼 있다. 이를테면, 3/4+1/6에서 왜 24로 통분하지 않는지, 그리고 24로 통분하면 답이 안 나오는지에 대해 아동에게 의문을제기할 수 있다.

<2-7>다섯째 주 II. 진도결정

진도결정은 현재 학습지점에서의 완성도를 확인하는 단계이다.

메타인지 피드백에서 진도결정은 관찰단계나 모니터링단계에서이루어질 수도 있다. 그러나 보통아이의 경우 기존의 지식구조를 새로운 지식구조로 조절하는 데에는 시간이 걸린다. 그리고 그 시간은 메타인지적으로 충분히 피드백을 받을 때에만 유용하다. 그렇게 볼 때, 보통 새 단원 도입 후 3~4주가 경과할 무렵이면 같은 단원의 도입세트가 완성돼 가는 시점일 수 있다.이 무렵의 아동은 대개 문제 해결의 방법이나 절차를 자동화하는 동시에 대부분의 오류를 스스로 통제할 수 있게 된다. 따라서 진도결정단계에서 우선적으로 아동이 이러한 지점까지 발달했는지를 가늠(사고수준측정)해야만 한다. 바로 이때 표준완성시간이 필요하다. 표준완성시간은 주지하다시피 오류정정을 포함하여 100점을 받기까지걸리는 시간이다. 따라서 표준완성시간은 초기풀이시간과 오류발견시간의 합으로 측정되어야 한다.

표준완성시간=초기풀이시간(인지)+오류발견시간(메타인지)

초기풀이시간은 아동이 교사의 지시를 받고 교재를 다 풀기까지 걸리는 시간이다. 교사는 아동이 교재를 풀기 전에 미리, 교재풀이 후 자기점검(교재의 풀이를 검토)을 하도록 지시해야 한다. 오류는 있을 수도, 없을 수도 있다. 중요한 건 아동이 그것을 점검하여 정확하게 판단하는 능력(메타인지)이다.

자기점검을 지시했을 때 어떤 아동은 다 맞았음에도 불안하여 교재를 들여다 볼 수 있다. 반대로 어떤 아동은 오류가 있음에도 다 맞았다고 말할 수 있다. 어찌됐든 이때 소용되는 시간이 오류발견시간이다. 교사는 아동의 풀이를 주시하면서 초기풀이시간과 오류발견시간을 연속적으로 구분하여 측정해야 한다.

예를 들어, C단계 #50번의 표준완성시간을 측정한다고 할 때 초기풀이시간에서 아동A가 1분 30초, 아동B가 1분 10초이고 오류발견시간에서 아동A가 30초 후에 중지하여 다 맞고, 아동B가 10초 후에 중지하여 1개를 틀렸다면 아동A의 표준완성시간은 2분(1분30초+30초)이 되지만, 아동B의 표준완성시간은 측정불가로 판정해야 한다. 왜냐하면 아동B 자신의 능력으로 100점을 받지 못했기 때문이다.

우리는 그 동안 아동B가 비록 1개를 틀렸지만 아동A보다 훨씬 빠르고 민첩해 보였기 때문에 아동B의 학습잠재력을 더 높이평가해 왔다. 그러나 아동B와 같은 타입이 바로, 시험에서 아는 문제를 틀려오는 아이다. 그가 바로 계산만 하는 아이다. 반면, 우리는 아동A가 느려터졌다고 생각할 수도 있다. 그러나 그가 바로 우리가 지향해야 할 목표이다. 그가 바로 구몬식 자학자습이 실현된 아이다.

우리는 표준완성시간으로 아동의 사고수준을 측정할 수도 있고 아니면 전혀 측정하지 못할 수도 있다. 이렇듯 사고수준의 측정은 오류발견시간을 통한 자기점검, 자기조절의 사고(메타인지)가 표준완성시간에 반영될 때에만 가능하다.

MCF 메타인지 피드백의 이해 3. 지도모형(관찰-모니터링)

postk — Tue, 27 Feb 2024 01:06:37 +0900

2018-10-05 22:33:27

<2-2>둘째 주. 관찰

새 단원도입 2주째, 지난 주 ‘나의생각점검표 읽기학습’을 진행한 아동에게 메타인지 항목들이 얼마만큼 아이의 사고에 편입(내면화: Internalization)되었는지 알아봐야 한다. 이것이 메타인지 피드백의 두 번째 단계인 ‘관찰’이다.

먼저 지시 및 관찰 과정에서는 5분 정도의 시간을 두고 교재를 풀려보면서 아동의 인지적, 메타인지적사고, 주의집중 정도(작업능력), 특정 행동 등을 직접 관찰한다. 이때 교사는 아동이 가급적 주위에시선을 뺏기지 않고 과제에 몰입하도록 도와야 한다. 부족한 아이일수록 사소한 잡음, 이를테면 교재를 넘기는 소리나 기침, 시계의 비프음, 핸드폰 벨소리 등에 주의집중을 놓치고 산만해지기 쉬우므로 아동이 교재를 푸는 동안에는 교사 역시 가급적 정숙을유지하는 게 좋다.

아동이 수업과는 상관없는 얘기를 한다든지 교사에게 말을 걸 때는 문제를 소리 내어 읽으면서 풀도록 지시하는 것도 방법일 수 있다. 그리고 교재 풀이 중 아동이 문제를 틀리거나, 안 푼 문제를 모르고 지나치더라도 일단 시간이다 될 때까지(5분)는 그냥 묵과해야 한다. 교재 풀이 중 교사의 간섭은 아동의 리듬과 주의집중을 깨뜨릴 수 있기 때문이다. 아동이 문제를 푸는 동안 교사의 역할은 아동의 주의집중을 돕고, 정숙을 유지하면서 아동의 ‘사고수준’을 체크해 두는 일이다.

5분 후 교재풀이가 끝나면, 교사는 아동이 푼 교재를 즉시 채점해서 틀린 부분을 표시해 준다. 이때계산의 오류 외에 형태를 알아보기 힘든 숫자, 문제의 위치와 답의 위치가 어긋나 있는 경우에도 오답으로 간주하여 표시해 둔다. 이런 경우 대개 아동은 교사에게 왜 틀렸냐고 항변하기 마련이지만 이에 교사가 일일이 대꾸할 필요는 없다. 왜 틀렸는지는 아동 스스로가 생각해야 할 문제이기 때문이다.

그리고 아동이 틀린 문제를 고칠 수 있는지 확인한 후(고칠 수 없으면 가르쳐 줄 것), 5분간의 관찰내용 중 우선순위를 정해 아동에게 피드백한다. 아동은 ‘나의 생각점검표’ 내의특정 항목에서 문제를 보일 수 있고 때로는 여러 항목에서 복합적인 문제를 드러낼 수도 있다. 그러나‘관찰단계’의 피드백은 ‘나의생각점검표’ 2단계(문제풀이 도중)에 집중하도록 한다. 이 시기 아동에게 나타나는 대부분의 오류는 2단계 메타인지 항목에서의 결함으로 유발되기 때문이다.

다음은‘관찰단계’의 수업예시이다.

참고로 당일 풀릴 교재는 아동의 현재 수준에 맞춰 한 세트의 전반부(1~5), 혹은 후반부(6~10)로 나누어 제시한다.

[관찰수업: C#55]
수업의 절차	수업내용
2-1단계 (지시와 관찰)	⊙교사: “오늘은 5분 동안 교재를 풀 거야. 시작은 여기 #55번부터이지만 몇 장을 풀게 될지는 너에게 달려 있단다. 네가 집중할수록 많이 풀 수 있겠지. 그리고 틀리지 않고 많이 풀수록 많은 점수를 받을 수 있으니까 열심히 해보자.” ⊙아동: “네.” ⊙교사: “지금부터 교재를 풀어 보자. 시간이 다 되면 알람이 울릴 테니 그때까지 최선을 다해보는 거야. 그리고 중간에 하고 싶은 말이나 질문이 있더라도 우선은 문제를 푸는 데 집중해야 한다. 또 시간이 얼마 남았는지 궁금해할 필요는 없단다. 끝나기 1분 전에 선생님이 말해줄 테니까, 알겠니?” ⊙아동: “네” ⊙교사: “그럼 시작해라” ---교재 풀이 중--- ⊙교사: “1분 남았다” ⊙아동: “벌써요?” ---시간 종료---
2-2단계 (오답정정)	⊙교사: “자, 거기까지. 이제 네가 한 것을 보자” ⊙아동: “네.” ⊙교사: “2장 조금 못 풀었구나. 선생님이 틀린 부분을 표시해줄 테니까 고쳐보렴” ---오답 표시 중---(C#55b) ⊙아동: “어? 그게(14번 문제) 왜 틀렸어요?” ⊙교사: “일단 모두 고친 후에 얘기하자” ---오답 정정 중--- ⊙아동: “이거 3이라고 쓴 건데..(14번 십의 자리를 고쳐 씀), 그리고 이건(22번) 더하기를 해버렸네.. 그리고 59곱하기3(23번)은 왜 틀렸지? 아! 17인데 16이라고 썼구나” ☞교사는 아동이 오답을 정정하는 모습을 보면서 ‘나의 생각점검표’ 2단계의 항목 중 어느 곳에 포인트를 두어 피드백 할지를 결정합니다. (1~2가지만 선택) 본 예시에서는 59Ⅹ3의 오류를 중심으로 피드백합니다.
2-3단계 (피드백)	⊙교사: “자, ‘나의 생각점검표’ 2단계에서 ④, ⑤, ⑥번을 읽어볼래?” ⊙아동: “네” ④방금 전에 풀었던 문제가 뭐였지? ⑤지금 이 문제는 좀 전에 풀었던 문제랑 무엇이 다르지? ⑥무언가 규칙이 있다는 걸 기억해야 해 ⊙교사: “한 번 대답해보렴. 55Ⅹ3과 56Ⅹ3 둘 중 어느 쪽이 크니?” ⊙아동: “56Ⅹ3이요” ⊙교사: “왜 그렇지?” ⊙아동: “여긴 55구 여긴 56이니까 56Ⅹ3이 크죠” ⊙교사: “그렇구나. 네가 푼 교재의 오른쪽 줄에 있는 문제들은 모두 곱하기 3이구나, 그렇지? ⊙아동: “네” ⊙교사: “그러니까 위의 수가 클수록 답도 커지겠구나, 맞니? ⊙아동: “네, 그렇죠” ⊙교사: “그럼 말야, 여기 56Ⅹ3보다 59Ⅹ3이 더 커져야 하겠구나, 그렇지 않니?” ⊙아동: “네.. 근데 이건 제가 잘못 계산한 거에요.” ⊙교사: “누구나 잘못 계산할 수는 있단다. 문제는 계산한 다음이지. 넌 그 문제를 풀고 나서 무언가 이상하다는 생각이 들었니?” ⊙아동: “아뇨. 이제 보니까 알았죠” ⊙교사: “네가 규칙을 기억하고 있고, 방금 전에 푼 문제랑 지금 풀 문제랑 같이 비교하면서 풀었다면 이렇게 잘못 계산했더라도 무언가 답이 이상하단 걸 눈치챌 수 있었을 거야. (◀피드백1) 다음 ⑩번을 읽어보렴” ⊙아동: “⑩무언가 답이 이상하면 넘어가지 말고 다시 풀어야지” ⊙교사: “그리고 ⑦번을 읽어보렴” ⊙아동: “⑦너무 서둘러서 풀려고 하면 안돼” ⊙교사: “실수하는 것보다 더 나쁜 것은 대충 빨리 풀려고 하는 태도란다. 그렇게 풀다 보면 오히려 실수가 많아지게 되고, 실수가 많아지다 보면 될 대로 되라는 생각이 들게 되지. 그러니까 차분하게 답이 맞는지 살피면서 푸는 습관이 중요하단다.” (◀피드백2) ⊙아동: “네” ⊙교사: “수고했다. 그리고 잊지 말거라. 넌 언제든 오늘보다 더 잘할 수 있다는 걸 말야” ⊙교사: “다음 주에는 네가 어떤 문제에서 어떻게 틀리고 어떤 실수를 하는지에 대해 얘기해 볼 거야.” (주의☞) 자기신뢰감을 높여가는 것도 메타인지 피드백의 중요한 목표 중에 하나입니다. 따라서 수업의 말미에는 반드시 칭찬으로 마무리해 주십시오.

<2-3>셋째 주. 모니터링

새 단원도입 첫 주에 풀린 교재의 채점이 끝나면 오류의 주요 원인을 파악하여 교재에 메모 또는 표시해 둔다.

메타인지피드백의 세 번째 단계인 모니터링의 목표는 오답수정이 아니다. 그보다는 오답, 오류를 일으킨 원인을 아동이 알게 하는 데 목적이 있다.

이를위해 먼저 할 일은 교재의 흐름에 대해 아동에게 적절한 정보를 주는 것(교재흐름알기)이다.

구몬교재는 초반부에 문제의 형태를 세분화하여 차례대로 제시한 후 후반부에 서로 다른 형태를 뒤섞는 방식을 취하고 있다. 따라서 초반부보다는 후반부에 오답/오류가 집중된다. 이것을 근본적으로 바로잡으려면 아동이 문제의 서로 다른 형태를 비교, 구별하고 주의를 기울일 수 있는 상태(메타인지)가 되어야 한다.

교재흐름알기(3-1단계)에서는 교사가 두 가지 이상의 문제 형태를 비교해서 아동에게 유사점과 차이점을 보여줘야 한다. 그렇게 함으로써 아동에게서 서로 분리되어 있는 불완전한 지식들을 조절(메타인지)하여 이전보다 진일보한 지식을 형성시킬 수 있다. ‘교재흐름알기’를 통해 문제의 패턴(어떤 형태의 규칙적인 배열)을 읽을 수 있게 되면, 그것을 근거로 오류의 원인에 대해 지적했을 때 아동의 입장에서 받아들이기 쉬워진다. 또한 그것은 아동이 오류의 원인을 말로 설명하는 데에도 도움이 된다.

모니터링의 두 번째 과정은 ‘오류지적과 오류설명하기’이다. 오류지적은 교사가 아동의 오류에 대해 직접 설명을 제공하는 것이고, 오류설명하기는 아동이 교사의 시범(오류지적)을 발판 삼아 자신의 오류에대해 교사에게 설명해 보는 것을 말한다.

주의할 점은 오류지적이 그것 자체가 올바른 방법이기 때문이 아니라, 그것을 통해서 아동이 오류를 설명하는 방법(메타인지)을 배우게 할 수 있기 때문에 의미가 있다는 것이다. 아동이 따라할 수 없는 지적이나 설명은 메타인지 피드백에서 아무 의미가 없다. 그러므로 교사는 아동이 따라 할 수 있는 쉬운 말로 지적해 주어야 하며, 아동이 못 알아들을 때는 즉시 단어나문장을 바꿔 다시 제시해야 한다.

오류지적이 끝나면 같은 종류의 오류에 대해 아동으로 하여금 오류를 설명해 보도록 격려한다. 만일 아동이 설명하지 않고 단순히 오답부터 고치려고 하면 주의를 준다. 보통아동이 설명하는 것을 싫어하는 데에는 뇌의 미성숙, 직관적 사고에 편향된 시기 등 다양한 해석이 있지만, 아동심리학적으로진짜 이유를 밝힌다면 한마디로 ‘생각하기 귀찮아서’이다.

우리는 때로 연필을 뺏어야 할지도 모른다. 어르고 달래며 사탕까지 줘야 할 수도 있다. 어찌됐든 설명하지 않고 답만 고치는 일이 없도록 해야 한다. 왜냐하면 설명을 시도할 때에만 비로소 자신의 생각에 대해 생각(메타인지)할수 있기 때문이다. 즉, ‘오류정정’은 한 문제를 고쳐주지만 ‘오류설명하기’는 아동의 사고를 고쳐준다.

다음은‘모니터링단계’의 수업 예시이다.

[모니터링수업: B#71~80]
수업의 절차	수업내용
3-1단계 (교재흐름알기)	⊙교사: “오늘은 요즘 네가 어떤 문제에서 어떻게 틀리고 어떤 실수를 하는지에 대해 얘기해 볼 거야. 먼저 여기를 봐주렴.” ⊙아동: “네.” ⊙교사: “72쪽 이 부분에서 백의 자리와 십의 자리를 묶어서 생각해보자(그림에서 하일라이트부분) 이것을 22+12라고 생각하면 이곳은 34이거나 35이겠지?” ⊙아동: “네” ⊙교사: “그런데 일의 자리를 보렴. 일의 자리가 10이 넘으니까 22+12는 35가 되고, 24+31은 56이 되는구나, 그렇지?” ⊙아동: “네” ⊙교사: “이번에는 76쪽도 같은 방법으로 생각해 보자. 백의 자리와 십의 자리를 묶어서 생각해보면 46+15는 61이거나 62겠지?” ⊙아동: “네” ⊙교사: “그런데 일의 자리를 보니까 10이 넘질 않는구나. 그러니까 46+15는 그대로 61이 되겠구나, 그렇지?” ⊙아동: “네 ⊙교사: “같이 생각해 보면, 백의 자리와 십의 자리를 묶어서 어림할 때 일의 자리가 10을 넘느냐 안 넘느냐에 따라 하나를 더 올려 쓰기도 하고 그대로 쓰기도 하는구나, 그렇지?” ⊙아동: “네”
3-2단계 (오류지적과 오류설명하기)	⊙교사: “자, 그러면 네가 풀었던 교재를 보자. 보다시피 처음 공부한 거라 많이 틀렸지만 중요한 건 지금부터란다. 9번 문제부터 어디서 왜 틀렸는지 선생님이 설명해 줄 테니 답을 고쳐 보렴 ⊙아동: “네” ⊙교사: “322+129에서 32+12는 44이고 일의 자리가 11이니까 44는 하나 더 커져야 하는데 넌 그대로 썼지?” ⊙아동: “네, 그럼 451이요” ⊙교사: “그렇지. 322+192에서 32+19는 50이 넘는데 네가 쓴 답은 너무 작지?” ⊙아동: “음.. 51이니까 514요” ⊙교사: “그렇지. 149+538에서 14+53은 67이거나 68인데 네가 쓴 답은 너무 크지?” ⊙아동: “그럼, 68... 687이요” ⊙교사: “그렇지. 이제 13, 14번은 네가 직접 왜 틀렸는지 말해보겠니?” ⊙아동: “네. 203+592에서 20+59는 79이고 여기(3+2)가 5이니까 그냥 쓰면 되는데 805라고 했구요..” ⊙교사: “그렇지. 그리고?” ⊙아동: “257+127에서 25+12는 37인데 7+7이 14니까 37을 하나 더 올리면 되는데 너무 많이 올려서 틀렸어요” ⊙교사: “그렇지. 잘했구나. 이제 네가 어떤 실수를 하는지 알게 되었으니 이번 주에는 저번 주보다 훨씬 잘하게 될 거야.” ⊙교사: “다음 주는 오답을 찾는 시간이란다. 오늘 네 실수들을 잘 기억해 두렴.”

MCF 메타인지 피드백의 이해 2. 지도모형(ICL읽기)

postk — Tue, 27 Feb 2024 00:51:23 +0900

2018-10-05 22:10:07

메타인지 피드백(MCF)에 대해 더 자세히 알아보기 위해 2009년 논문 중 제4장 '조절모델'편을 우선 발췌하면서 강의를 진행하겠습니다.

‘나의 생각점검표’는학계에서 제시되고 있는 여러 메타인지 학습전략들을 참고하여 구몬수학에 맞게 연구팀이 변형한 것이다.

<1-1>나의 생각점검표 1단계 (문제 풀기 전)

1단계의 전반부는 진도체크표를 통한 진도공유, 그리고 문제를 풀기 전에 교재를 전반적으로 훑어보게 함으로써 시야를 한 문제로부터 한 페이지 이상으로 확대하도록 돕는다.

이 과정을통해 아동이 문제를 잘못 보는 일, 예를 들어더하기 3을 더하기 2로 푼다든지, 더하기를 빼기로 푸는 오류를 방지할 수 있다.

1단계의 후반부는 교재에서 문제들간의 배열규칙, 그리고 규칙의 변화 등을 살피게 하고 있다. 이렇게 함으로써 아동이 문제 하나 하나를 따로보지 않고 어떤 연관된 구조(Structure)로 파악하도록 유도할 수 있다. 또한 규칙이 바뀌는 곳의 지점을 미리 알아둠으로써 실수할 가능성을 줄일 수도 있다.

상급용 추가 항목에서는 ‘계산의 의미’와 ‘계산의 절차’에 대해 사고하도록 하고 있다. 특히, C단계 이상에서 계산의 의미를 생각해보는 습관은 수학적 사고의성숙을 위해 매우 중요하다. 숫자와 기호로 이루어진 수식(數式)은 수학적으로 약속된 형식일 뿐 그 의미는 수식 속에숨겨져 있다. 보통아동이 곧잘 계산만 하게 되는 것은 이렇듯 수식의 의미가 수와 기호 속에 숨겨져 있기때문이다.

<1-2>나의 생각점검표 2단계 (문제 풀이 도중)

2단계는 문제 풀이 도중에 필요한 자기점검요소를 담고있다.

<1-3>나의 생각점검표 3단계 (문제 풀이 후)

3단계는 문제풀이 후에 필요한 자기점검 요소가 포함돼있다. 이것들은 주로 검산, 검토, 오류발견과 같은 활동과 관련된다.

2. 메타인지피드백 수업의 설계

메타인지학습활동은 문제해결의 각 단계에서 자기 질문을 통한 점검과 통제를 하도록 하는 학습방법이다. 연구팀이 만든 ‘메타인지 피드백’은 메타인지 학습활동에서 사용되는 여러 가지 지도기법들을 구몬수학의 상황에 맞게 재구성한 것이다.

메타인지피드백은 5주를 한 주기로, 총 7단계로 구성되어 있다. 각 단계에서 어떻게 지도하여야 하는지 자세히 살펴보도록 하자.

<2-1>첫째 주. 나의 생각점검표(ICL: Idea Check List) 읽기

이 단계는 나의 생각점검표의 읽기를 통해 메타인지적 사고를 아동 자신의 사고로 편입시키는 과정이다. ‘ICL읽기’는 새 단원 도입직후마다 실시하는 게 바람직하다. 새 단원의 도입부에서는 일반적으로 아동의 수준을 넘는 자기조절이 필요하게되고 뜻하지 않은 오류도 급격히 많아지기 때문이다.

‘나의 생각점검표’는문제풀이 전, 문제풀이 도중, 문제풀이 후로 나누어 각 부문항목을 아동에게 읽도록 지시한다. 예를 들어, B단계 #11을 대상으로 수업이 이뤄진다면 첫 장인 #11번을 그냥 풀어보라고 놔두는 것이 아니라 문제풀이 전, 중, 후로 ‘나의 생각점검표’를 읽으면서 풀도록 하는 것이다. 이때 중요한 것은 아동이 메타인지 항목을 읽은 즉시 교사가 이를 그대로 되묻는(발문) 것이다.

아동의입장에서 나의 생각점검표는 그냥 읽을거리에 불과하다. 그 안의 항목들이 아동의 사고 속에 편입되려면 교사의 발문을 통해서만 가능하다. 아동은 나의 생각점검표를 읽을 때는 ‘읽기’에 주의를 기울이다가, 같은내용을 교사로부터 발문 받으면 그때서야 자신이 읽은 바로 그 내용(새로 편입될 메타인지)을 ‘자신의 사고과정’에 결합시키기 시작한다. 즉, 자신의 사고를 점검하기 시작한다.

(여기서 발문에 대해서는 '궁리' 단계에서 자세히 설명합니다)

‘ICL읽기’단계에서 가장 중요한 과정은 ‘문제풀이 전(1단계)’이다. 문제풀이 도중이나 문제풀이 후에 읽을 메타인지 항목은 한장, 한 장을 완성시키는 데 필요한 사고인 반면, 문제풀이 전에 읽을 항목은 한 단원 전체를 완성시키는 데 필요한 사고이기 때문이다.

다음은 ‘ICL읽기’ 단계의 수업 예시이다.

참고로 ‘ICL읽기’단계에서는 시간을 측정하지 않는다.

[ICL읽기수업: B#11]
ICL읽기의 절차	수업내용
1-1단계 (문제풀이 전)	⊙교사: “오늘은 새 단원이 시작하는 날이니까 선생님과 함께 나의 생각점검표를 읽으면서 풀어보자. 먼저 1단계 ①,②번을 읽어보렴.” ⊙아동: “네. ①나는 지금 어떤 공부를 하고 있지? ②먼저 어떤 문제가 있는지 살펴봐야 해.” (ICL읽기) ⊙교사: “넌 지금 어떤 공부를 하고 있니?” (◀발문) ⊙아동: “덧셈이요” ⊙교사: “어떤 덧셈인데?” (발문) ⊙아동: “어.. 아! 합이 100까지의 덧셈이요” ⊙교사: “그렇지, 그럼 다음 ③,④번을 읽어보렴” ⊙아동: “네. ③나는 이 문제의 뜻이 무엇인지 알고 있나? ④모든 문제를 훑어보자.” ⊙교사: “모두 살펴 보았니?” (◀발문) ⊙아동: “음..네.” ⊙교사: “넌 이 문제(16+2)가 무슨 뜻인지 말할 수 있겠니?” (◀발문) ⊙아동: “네. 16더하기 2잖아요. 16에 2를 더한다는 뜻이에요” ⊙교사: “그렇지. 그럼 다음으로 ⑤,⑥,⑦,⑧번을 읽어보렴” ⊙아동: “⑤위아래, 왼쪽 오른쪽 문제끼리 비교해보자 ⑥어떤 규칙이 있지? ⑦무엇이 같고 무엇이 다르지? ⑧이 규칙을 이용하면 쉽게 풀 수 있을까?” ⊙교사: “네 생각은 어떠니, 이 문제들은 지금까지 네가 보던 것들과 무엇이 같고 무엇이 다르니?” (◀발문) ⊙아동: “어..똑같은 더하긴데요, 문제가 이렇게 밑으로 돼 있어요.(세로셈)” ⊙교사: “정말 그렇구나. 이제 문제를 풀어보렴. 일단, 이 앞쪽만 풀 거란다.”
1-2단계 (문제풀이 도중)	⊙아동: “다했어요.” (☞B11a만 푼 상태) ⊙교사: “자, 그럼 2단계 ①번에서 ⑧번까지 읽어보렴” ⊙아동: “네” ①차분하게 하나씩 풀어보자 ②어림수로 답을 예상하자, 답이 얼마쯤 되지? ③이 답은 내가 예상했던 것과 비슷한가? ④방금 전에 풀었던 문제가 뭐였지? ⑤지금 이 문제는 좀 전에 풀었던 문제랑 무엇이 다르지? ⑥무언가 규칙이 있다는 걸 기억해야 해 ⑦너무 서둘러서 풀려고 하면 안돼 ⑧나는 숫자를 알아보기 쉽게 쓰고 있나? ⑨빠트린 문제가 있는지 잘 봐야 해 ⑩무언가 답이 이상하면 넘어가지 말고 다시 풀어야지 ⊙교사: “네가 읽은 것 모두를 다시 생각해보면서 다음 쪽을 풀어보렴”
1-3단계 (문제풀이 후)	⊙아동: “다했어요.” ⊙교사: “그럼, 이제 3단계 ①번에서 ⑨번까지 읽어보렴” ⊙아동: “네” ①앞장부터 다시 훑어봐야겠어 ②잘못 쓴 숫자가 있는지 살펴봐야 해 ③잘못 본 문제가 있는지 살펴봐야 해 ④문제들과 답을 함께 보자, 이상한 답이 있는 곳을 찾아야겠어 ⑤좀 더 쉽게 검산하는 방법이 있지 않을까? ⑥내가 어려웠던 문제는 뭐였지? ⑦내가 요즘 많이 틀린 게 뭐였더라? ⑧혹시 내가 대강 풀고 넘어간 문제는 없나? ⑨틀린 답을 찾으면 조심해서 다시 풀어야지 ⊙교사: “앞장부터 다시 훑어보자. 잘못 본 문제가 없는지, 이상한 답이 있는지 검토해보렴” (◀발문) ⊙아동: “음.. 다 맞은 거 같은데..” ⊙교사: “그래? 여기(18+1=20)가 틀렸구나” (오답표시) ⊙아동: “아! 19인데 20이라고 썼네요” (주의☞) 도입부에서 대부분의 아동이 오류를 찾지 못합니다. 3단계 항목 읽기와 발문으로 오답/오류를 즉시 찾지 못하면 오답을 표시해 주십시오. ⊙교사: “이제 나머지 ⑩,⑪,⑫번을 읽어보렴 ⊙아동: “네” ⑩이제 모든 문제를 바르게 푼 게 확실해? ⑪모든 답이 확실하다면 검산을 끝내도 좋아 ⑫이 정도면 난 언제든 잘할 수 있어 ⊙교사: “수고했다. 처음이지만 잘해줬구나. 오늘처럼 넌 언제든 잘할 수 있다는 걸 기억하렴” (주의☞) 자기신뢰감을 높여가는 것도 메타인지 피드백의 중요한 목표 중에 하나입니다. 따라서 수업의 말미에는 반드시 칭찬으로 마무리해 주십시오.

MCF 메타인지 피드백의 이해 1. 메타인지란?

postk — Tue, 27 Feb 2024 00:38:25 +0900

2017-10-20 16:21:03

우리는 현재 증폭모델 중 지적표준 모델링(MSM)의 시뮬레이션을 진행하고 있습니다. 그 첫 프로젝트가 '안나'죠. 그런데 이쯤에서 증폭모델의 다른 축인 메타인지 피드백이 이해될 필요가 있기에, 시물레이션을 잠시 멈추고 이론강좌를 몇 차례에 걸쳐 할 생각입니다.

보시는 것처럼 메타인지 피드백은 지적표준 모델링과 함께 상호작용의 촛점이 증폭에 맞춰진 모델입니다.

증폭은 특정 학습단계나 단원을 고정해 두고 그 안에서 문제들을 다루는 능력, 즉 자기조절을 자체심화, 발전시키기 위해 일정 기간 반복시키는 것입니다.

그럼 메타인지 피드백(MCF)은 지적표준 모델링(MSM)과 무슨 차이가 있는 걸까요?

우리는 일전에 수연산에 자기조절이 가미되어 나타나는 것이 수감각이라고 배웠습니다. 이때 지식의 두 가지 분류로 보면 수연산은 인지(Cognitition)이고, 자기조절은 메타인지(Meta-Cognition)에 해당됩니다.

<응용력=메타인지>

우리가 '생각한다'라고 할 때, 그 생각은 크게 보면 두 종류입니다. 하나는 ~를 안다(Know what :서술적 지식) 또는 ~할 줄 안다(Know how : 절차적 지식)를 가리키는 인지(Cognition)이고, 또 하나는 그런 서술적, 절차적 지식을 언제, 어디서, 어떻게 사용할 것인지를 판단하는(Thinking about thinking) 조건적 지식, 즉 메타인지(Meta-Cognition)이죠.

"더하기를 안다, 더하기를 할 줄 안다"는 인지이고, "더하기를 언제, 어디서 어떻게 사용하는지 안다"는 메타인지입니다. 그러니까 눈치빠르신 분은 아셨겠지만 이 메타인지가 우리가 그토록 소망하는 응용력의 정체입니다. 자기조절이란, 메타인지의 구체적인 실행명령(command) 같은 것을 일컫는다고 보시면 되겠습니다.

<메타인지 결핍의 원인>

한편 아이들을 관찰해보면 메타인지의 능력 자체가 부족하거나 결핍된 경우를 많이 보게 됩니다. 이런 경우 우리가 기다리는 자기조절은 적시에 출현하기 어렵고 설사 나타났다 하더라도 융합(지적표준)되기는 더더욱 어렵죠.

메타인지의 결핍은 1차적으로 지능요인과 독서요인으로부터 비롯됩니다. 지능요인에서는 특히 논리수학지능과 자기성찰지능의 영향이 크겠지요? 독서요인에서는 물론 독해력이죠.

그런데 이런 주요 요인에서 별달리 문제가 없어 보이는데도 메타인지가 무력화돼 있다면 '사고습관'의 문제가 크다고 보여집니다. 이것이 또다른 결핍을 가져오는 2차 요인이죠.

사고습관은 언어나 감정 등과 같이 강력한 후성유전인데요, 아이들의 사고방식이나 사고패턴, 사고습관 등은 대체로 가족으로부터 물려받으며 계속해서 영향을 받습니다. 급격한 환경변화, 즉 부모나 가까운 친구들이 바뀌지 않는 한 아이의 사고습관은 대체로 고착됩니다. 이게 학습에 지대한 영향을 주게 되죠.

<두 가지 상호작용>

인지와 메타인지는 컴퓨터와 달리 우리 머릿속에서 분리돼 있지 않고 합쳐져 있습니다. 인지과정에 메타인지가 개입되고, 메타인지 과정에 인지가 개입되죠. 수연산(인지) 과정에 메타인지가 개입되면 여러 가지 자기조절들이 나타나는데 이중 특수한 형태로 융합된 자기조절, 즉 지적표준(수감각)의 발달양상에 촛점을 맞추어 지도하면 지적표준 모델링이 됩니다.

I-METHOD의 핵심은 자학자습 또는 사고력인 A, 그리고 상호작용 I를 학습에 능동적으로, 적극적으로 적용시켜서 학습효과를 극대화하는 것입니다.

증폭이란, 그중에서도 A의 자체심화, 발달을 도모하기 위한 것이죠. (A1→A2→A3→A4 . . .)

문제는, 이렇게 사고력 A 가 A1,A2,A3 이런 식으로 심화되는 과정이 축적되면 그 다음의 더 높은 차원 B로 넘어갈 수 있어야 하는데(질적 전환) 대다수 보통아들은 A에서 벗어나지 못한다는 것입니다.

이것이 사고의 고착현상(Fixation)입니다.

이 고착현상을 해결하려면 두 가지 방향의 상호작용이 가해져야 합니다.

첫째는, 교사와 아동 사이의 상호작용입니다. 이것은 아동의 외부로부터 작용하므로 외적 상호작용(External Interaction)이라고 할 수 있습니다. 이것을 체계화한 것이 지적표준 모델링(MSM)이죠.

그러나 앞서 말씀드린 바와 같이 사고의 고착은 매우 견고해서 이것만으로는 근본적인 변화를 일으키기에 부족할 때가 많습니다. 제아무리 모델링이 훌륭해도 결국은 아동이 아동 스스로와 상호작용할 때에만 비로소 메타인지가 작동하기 때문이죠.

둘째는, 아동 자신과의 상호작용입니다. 이것은 아동의 내부에서 작용하므로 내적 상호작용(Internal Interaction)이라고 할 수 있습니다. 아동 자신과의 상호작용은 대부분의 경우, 아동의 학습환경 안에서 일정한 패턴을 가지고 거의 고착화되어 있습니다.(사고습관) 즉, 내적 상호작용의 변화값은 굉장히 작다는 것이죠. 그래서 교사들이 세상의 모든 지도법들을 연마하고 적용해본다한들 결국 근본적으로, 궁극적으로 남는 고민은 다름아닌 이것일 것입니다.

"어떻게 하면 아이가 생각을 더 많이 하게 할 수 있는가?"

이 질문에 답하기 위해 고안된 지도법이 메타인지 피드백(MCF: Meta-Cognition Feedback)입니다.

MSM 시뮬레이션: 안나를 위하여 2

postk — Tue, 27 Feb 2024 00:19:10 +0900

2017-10-03 18:49:03

우리는 그동안 구몬식 지도의 세 가지 갈래들에 대해 다루면서 그 가운데 사회문화주의 분파의 지도법인 I-METHOD의 기초이론을 공부해왔습니다. I-METHOD는 학습자의 상황에 따라 크게 두 가지 모델로 나뉘죠.

I-METHOD는 학력함수 F(X)에서 이해(A)와 연습(X) 외에 상호작용(Interaction)이 기본 변수로 놓인 지도법입니다. 그 상호작용은 당연하게도 교사와 학생간의 관계를 말하는 것입니다. 상호작용은 아동의 근접발달영역(zpd)에서 일어나야 하는데 근접발달영역 안에서의 상호작용은 복습과정에서 자기조절 수준을 끌어올리는 증폭과, 진도과정에서 새로운 자기조절을 획득하도록 돕는 촉진으로 구분됩니다.

우리는 우선 증폭모델 가운데 하나인, 지적표준 모델링(MSM)의 개요를 살피면서 실제 회원지도와 접목하여 시뮬레이션을 진행 중입니다.

지적표준(Mental Standards)이란, 구몬수학 학습그룹 안에서 향후의 발달을 이끄는 주요 변인으로서의 '수 감각'을 지칭한다고 했습니다. 6A~4A에서 형성되기 시작하는 기초 수감각 (수세기, 수직관, 수좌표 등)은 3A 이후의 연산단계에서 여러 자기조절과 지적표준을 획득하도록 하기 위한 주요 변인입니다.

그럼, 시뮬레이션을 이어가보죠.

안나는 전입 당시 초2이고 A단계를 학습중이었습니다. 재진단 결과는 위와 같았고, 상담 후에 6A의 도트학습으로 내렸죠. 국어 역시 AI에서 2A로 낮추었습니다. 언어발달단계가 모호해서 가속이 필요했기 때문이죠. 그런데 사실 안나가 3A로 재진입하기까지 수업의 대부분은 이야기책 읽기와 숫자판으로 이루어졌습니다.

<숫자판 연습방법>

숫자판 연습은 처음부터 1에서 100까지 놓는 건 아니고, 구간을 정해줍니다. 10단위마다 30초의 제한시간 안에 놓을 수 있을 때 다음의 10단위를 추가해줍니다. 예를들어, 이번주 목표가 1에서 20이라면 1분 안에 놓아야 하는데 만일 성공하면 다음주까지는 1에서 30까지를 연습시키는 거죠. 최종적으론 1에서 100까지 5분 안에 놓아야 성공입니다.

숫자판은 앞면에 수가 쓰여 있고, 뒷면은 수가 없습니다. 먼저 앞면부터 순차적으로 구간을 나눠 성공시마다 확장시키되 50~60 정도를 지날 때쯤 뒷면을 연습시켜 봅니다. 이때, 만일 제한시간에서 그리 멀지 않은 수준으로 놓을 수 있으면 뒷면놓기로 전환해서 우선 50~60까지 완성시켜 줍니다. 그런 뒤에 다시 앞면으로 돌아와서 100까지를 클리어한 뒤에 뒷면도 같은 방법으로 완성시킵니다. 만일, 뒷면놓기를 시도했는데 너무 오래 걸린다 싶으면 앞면놓기를 한동안 지속해야 합니다.

일반적으로 뒷면놓기 1~100을 5분 안에 놓을 수 있으면 수연산에 필요한 감각은 충분히 준비됩니다.

숫자판을 연습할 때는 사전에 구간안의 숫자알을 임의로 섞어서 아이에게 모아줍니다. 그리고 두 가지를 지시해야합니다.

첫째, 반드시 순서대로 놓을 필요는 없다.

둘째, 숫자를 읽으면서 놓아라.

숫자판 연습 중에 때때로 게임을 같이 합니다. 아이에게 파랑 또는 핑크 숫자알 중에 한 가지를 고르게 합니다. 아이가 핑크를 골랐다면 교사는 파랑이겠죠? 아이보고 먼저 5개 정도를 군데군데 놓으라고 한 뒤 교사도 같이 놓습니다. 적당히 눈치 봐가며 아이가 이길 수 있게 져주는 게임이 되어야 합니다. (교사가 이겨서 득될 게 별로 없습니다^^;)

연습 중에 중간 중간 반드시 수세기-수직관-수좌표의 상태를 점검해야 합니다. 구간별 수세기 속도를 잰다든가(1분에 120 기준이라고 할 때, 1~60은 30초), 숫자알이 몇 개인지 혹은 몇 개쯤인지 세어보게 한다든가(수직관), 지정한 숫자를 찾아보라고 한다든가 하는 것이죠. 물론, 이런 일련의 점검은 반드시 따뜻하고 격려되는 분위기에서 이루어지도록 신경써야 합니다.

숫자판 활동은 뒷판을 정복할 때까지 지속되어야 하며, 일반적으로 A~B단계 전후까지 연습해야 합니다.

<3A~A 진도진행 과정>

<손가락세기 문제>

교재풀이 중에 교사는 아이의 두 손끝과 눈동자를 잘 관할해야 합니다. 표준완성시간은 타이머가 재주지만 수감각인 지적표준은 오로지 직접관찰로만 드러나기 때문이죠. 안나는 더하기 1~3 진행 와중에도, 그리고 그 이후에도 가끔 한동안 손가락을 세어서 더하기를 하곤 했는데, 그럴 때는 문제를 읽으며 소리내서 수세기로 더하기를 하도록 주의를 줍니다.

5+2= 5 더하기 2는, 5, 6, 7

아이가 더하기에서 손가락과 같은 외적 매개체를 사용하는 것은 기초 수감각 가운데 수직관과 수좌표감각의 기초인 양 감각을 이용하는 것이 현 발달수준에서는 훨씬 더 친숙하기 때문입니다. 이것을 통해서도 아동의 수감각은 무자르듯이 구획화되어 있다기 보다는 나선형의 구조로 연속선 상에 놓여 있다는 것을 알 수 있죠? 안나는 초2이고 그동안의 학습이나 학교교육을 통해 여러 수준의 자기조절 방법들을 배워서 알고는 있습니다. 다만 충분히 내면화되지 않아서 그것들을 잘 통제할 수 없을뿐이죠. 그래서 증폭이 필요한 겁니다.

양 감각이 수좌표와 수직관으로 충분히 진화하지 않으면 이런 손가락세기는 막을 수 없습니다. 겉으로는 안하는 것처럼 보여도 연필을 쥔 손 말고 다른 손으로, 심지어 발가락을 움직여서라도 이런 행동은 계속될 겁니다. 한편으로, 이런 행동은 유아기에 굳어진 습성이 습관적으로 반복되기 때문이기도 합니다.

또한, 드물게도 어떤 아이는 암산에 머리셈까지 다 되는 수준에서도 가끔 손가락을 꼼지락거리기도 하는데 이 경우는 자기의 머리셈이 확실한지 재차 확인(자기조절의 일환으로서)하기 위한 것입니다.

이처럼 손가락세기는 자기조절의 하나임에 분명합니다. 하지만 그 수준이 너무 낮아서 더하기 이전의 기초 수 감각 단계의 발달이행 과정 중에는 어느 정도 효과적일 수는 있어도, 더하기 이후의 수 감각 발달에는 거의 영향을 주지 못합니다. 따라서 인위적으로 손가락세기를 막기보다는 그것보다 더 높은 수준의 자기조절을 사용하도록 도와주어서 그것을 내면화하도록 이끌어야 합니다. 그러면 조만간 아이 스스로 손가락세기의 필요성을 느끼지 않게 되고 그럴 경우에만 손가락세기는 사라지게 됩니다.

손가락으로 더하기를 하는 아이를 돕는 방법은 앞서 말씀드린 것처럼, 외적매개체(손가락) 대신에 내적매개체(언어)를 쓰도록 이끄는 것입니다. 손가락 대신에 입을 열어서 문제를 읽고 가수만큼 숫자를 이동해서 세는 과정에서는 손가락 보다 훨씬 더 많은 자기조절이 개입됩니다. 물론, 이때 사용하는 언어는 아직 사적 언어(혼잣말) 단계이며, 이 시기에 이렇게 바깥으로 말을 내뱉어서 연습하지 않으면 자기조절 단계를 심화, 즉 증폭시킬 수 없습니다. 한마디로 수다쟁이가 되지 않으면 안되는 것이지요.

아울러 수좌표 및 수직관의 감각을 더욱 탄탄히 하도록 숫자판과 같은 도구를 적극적으로 수업에 활용해야 합니다.

<복제와 지그재그>

안나는 연산단계에 재진입하면서 별다른 일이 없는 한, 하루 10매 정도의 연습량을 유지했습니다. 다행스럽게도 더하기 1,2,3,에서 '복제'를 사용하는 것은 확인되었죠.

3A 교재를 풀릴 때는 '복제'를 사용하도록 유도하기 위해서 반드시 교재를 양 옆으로 펼쳐놓고 풀려야 합니다. 그러면 문제가 반복된다는 걸 왠만한 아이들은 눈치채죠. '복제'란, 자기가 푼 문제와 똑 같은 문제를 발견했을 때, 그 문제가 좀 전에 어디 있었는지 찾아서 그 답을 그대로 지금 문제에 써넣는 것을 말합니다. 이게 왜 자기조절인지에 대해서는 이미 자세히 말씀드렸으니 결론만 말하자면, 이걸 이용하지 않으면 암기가 발달하지 않는다는 겁니다. 당연히 그곳엔 암산도 없죠.

안나는 매 세트 마지막장 (#10,#20, #120 같이)을 30초 쯤에 완성하는 것을 기준으로 더하기 1,2,3을 완성한 후에 2A에 들어섰죠. 더하기 4가 시작될 즈음에는 아이가 지그재그를 이용해서 문제를 푸는지 관찰해야 하는데, 안나는 그렇지 않았습니다. 여전히 순서대로 한번에 하나씩 풀고 있었죠.

그래서 답이 작은 문제부터 골라서 답이 커지는 순서를 찾아 지그재그로 푸는 시범을 보인 후에 따라해보게 했습니다.

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그랬더니 안나가 이렇게 말하는 겁니다.

"제가 옛날에 이렇게 풀었더니 선생님이랑 엄마가 그럼 안된다고 해서 그냥 순서대로 하는 거에요."라구요.

이게 무슨 말이죠? 아이가 자발적으로 지그재그(자기조절)를 사용하여 문제를 풀었는데, 다름아닌 교사가 그걸 막았다구요? ?

. . . . . . . . .

그러니 1년동안 2A를 시켜놓고도 전혀 발전이 없어 애가 이 지경이 된 것이로군요.

MSM 시뮬레이션: 안나를 위하여 1

postk — Mon, 26 Feb 2024 23:47:41 +0900

2015-04-04 03:46:53

오늘은 그동안 배운 걸 실전에 활용해 보도록 하죠. 먼저 다음을 봐주세요.

가상회원 안나와 노아를 소개합니다. 비록 가상이지만 여러분의 입회라고 생각하시고 두 친구의 지적표준 진단결과만을 바탕으로 출발점을 잡아 보세요. 아리송하시다면 [자기조절과 자학자습 3-1. 더하기준비]를 다시 정독하고 오세요.

자, 생각해두신 건 잠시 기억해 놓으시고 이제 제가 출발점을 잡아 보겠습니다.

먼저, 노아입니다. 노아의 지적표준은 1단계 학습그룹의 목표수준을 거의 달성했지요? 수창력이 다소 떨어지지만 수좌표감각(1~50)의 직관성을 가지고 있는 걸 보면 약간의 트레이닝만으로도 수창력의 발달가능성은 높은 편이라 하겠습니다. 언어발달수준에서 보면 국어 AI 지문을 20~30초에 읽어내는 걸로 미루어 볼 때, 내적 언어 단계에 확실히 진입했음을 알 수 있죠. 이상의 진단결과를 토대로 제가 생각하는 노아의 출발점은 3A #1번입니다. 노아의 현재 학령은 7세입니다.

다음으로, 안나입니다. 안나의 지적표준은 1단계 학습그룹의 목표에 전부 못미치는군요. 언어발달에서도 AI 지문을 유창하게 읽지 못합니다. 제가 생각하는 안나의 출발점은 6A #151번입니다. 안나의 현재 학령은 9세(초2)입니다.

어떻습니까? 여러분이 생각한 것과 좀 달랐나요? 제가 왜 출발점을 정한 후에 학령을 알려드렸는지 한 번 생각해 보세요.

노아의 나이를 알게 됐을 때 여러분의 반응은 어땠습니까? 그리고 안나는요?

제가 두 아이의 학령을 먼저 알려드렸다면 여러분이 생각했던 출발점과 달라졌을까요?

유감이지만 아마 달라졌으리라 봅니다. 특히 안나의 경우는 더더욱이요.

안나는 9세입니다. 초2죠. 제가 안나를 처음 만날 때 학습 단계는 A 중반이었습니다. 이전 선생님이 보낸 진도그래프를 보니 출발점이 2A였고 1년 정도 학습이 진행된 상태입니다. 1년 전이면 안나가 초1이었겠군요. 1학년에 2A 출발이라, 네..., 액면 그대로라면 나쁘지 않은 출발이겠지만..., 보시다시피 1년 후의 지금 상태는 저 모양입니다. 1년 동안 무언가를 학습했는데 어떻게 3A를 학습하는 데 필요한 기본능력조차 갖추지 못한 걸까요? 1년 동안이나 자기학년에 얼추 학습을 맞춰 진행했지만 도대체 무얼 성장시킨 걸까요?

학습을 학령에 맞추는 건 보시다시피 지적 성장과 아무런 관계가 없습니다. 분명히 교재를 주고 풀리고 채점하고 복습하고 시간재고 할 것 다한 것 같지만 실제로는 아무것도 안한 것과 별 차이가 없습니다.

그래도 계속 하다보면 늘지 않겠냐구요? 이런 상태로 언제까지 학습이 가능할 것 같나요? 애는 늘지 않는데 학년은 계속 올라갑니다. 학습도 거기에 발맞춰 나갑니다. 이런 식이면 아이는 결국 못해먹겠다고 선언해 버릴 겁니다. 안된 얘기지만 안나를 떠나보낸 전임 선생님은 속으로 쾌재를 부르고 있지 않을까요? 언제 터질지 모르는 시한폭탄 같은 아이가 이사를 간답니다. 그것도 지방을 떠나 멀리 서울로요. 그리고 안나는 제게 왔지요.

안나가 폭탄이면 저는 조만간 폭탄돌리기의 희생양이 되겠군요. 그런데 말이죠, 정작 희생되어야 할 사람은 안나도 저도 아닌, 안나를 폭탄으로 만든 전임 선생님 아닙니까? 왜 회사는 안나와 제가 희생되도록 놔두는 거죠? 이게 그냥 저 혼자 재수 없으면 되는 일입니까? 현행 전출입규정은 폭탄을 제조한 곳에는 상을 주고 폭탄이 터진 곳에는 책임을 묻죠. 이런 제도는 단지 폭탄돌리기를 합리화할뿐이죠. 세상에 이런 말도 안되는 제도가 어딨습니까? 그러니 누구도 폭탄제조에 거리낌이 없게 되는 겁니다. 어차피 폭탄 돌리기니까요. 안나의 문제는 회사와 교사, 교사와 교사간의 도덕적 해이(Moral Hazard)가 어디까지 왔는지를 적나라하게 보여줍니다.

여러분이 안나를 맡게 됐다고 상상해 봅시다. 적어도 여러분이라면 안나가 위험한 상태라는 걸 바로 알 수 있을 겁니다. 물론, 저 밖의 대다수의 교사들은 폭탄인 줄도 모르겠죠. 그냥 좀 느린 애라고 생각할 겁니다. 아이가 원래 느리니까 이해해주자라는 너그러움을 베풀지도 모르죠. 아마 그 너그러움으로 학습중이던 A단계를 복습하거나 아니면 2A로 좀 낮춰보는 정도의 시도는 할 수 있을 지 모릅니다.

이런 수준의 교사라면 아마도 틀림없이 제게 이렇게 반문할 겁니다.

" 다소 느리긴 하지만 안나는 +1에서 +10을 다 할 줄 안다. 심지어 일부의 셈(답이 10이되는 덧셈)은 암산도 된다. 애를 우수회원으로 키울 것도 아니면서 우수아 기준으로 빡빡하게 진도를 짜봤자 아이가 갑자기 빨라지는 것도 아니고, 더구나 학교공부도 어느 정도 뒷받침해줘야 하는데 마냥 아랫단계에 머무르는 게 과연 아이에게 도움이 될까? "

사무실의 선생님들 대부분이 아마 이런 생각을 가지고 있을 겁니다. 안나를 폭탄으로 만들어 보낸 전임 샘을 포함해서요. 아마 전국의 구몬샘들 90% 이상이 이럴 거라고 생각합니다. 이게 바로 구몬의 비극적인 상황이죠. 개인별, 능력별 학습을 표방하는 대표적인 프로그램식 학습지의 선생님이라는 사람들이 실은 진도식 학습의 추종자들이니까요. 이들에게 '실력향상'이란 말은 곧 학년상당진도를 맞춰주는 것과 같은 의미입니다. 물론 여기엔 학년상당, 학년앞섬이 곧 실력향상이라고 보는 행동주의자들의 꾸준한 선전도 한몫했겠지요.

이런 막강하고 위협적인 반문에 대하여 여러분은 제대로 반박할 수 있습니까?

이런 사람들을 상대하는 데에 굳이 비고츠키 선생님을 불러낼 필요도 없을 것 같군요. 정통구몬식 학습에 비추어 위의 반문이 왜 비구몬적인지 말씀드리죠.

첫째, 아이가 못하는 것은 아이의 능력때문이 아니라 교사의 진도결정이 잘못되었기 때문이다.

-아이가 잘할 수 있는 곳에서 출발한다면 느린 아이는 있을지 몰라도 못하는 아이란 있을 수 없다.

둘째, 할 줄 아는 것과 잘하는 것의 차이를 구별하고 할 줄 아는 것을 잘하도록 만드는 것이 학습이다.

셋째, 암산이란 전체적이고 유기적인 감각이다.

-일부만 외워진 것은 암기지 암산이 아니다.

넷째, 모든 아이가 우수회원이 되는 것은 아니다. 동시에 우수회원이 될 자격이 있는 아이가 따로 있는 것도 아니다.

-우리는 가능성의 추구라는 측면에서 모든 아동이 우수회원에 도전하도록 이끌어야 한다.

다섯째, 학교공부에 뒤쳐지는 것은 학교진도를 따라잡지 못했기 때문이 아니다.

-현재 학습에 영향을 주는 선행 결손들, 부족한 연습 등이 학교공부를 뒤쳐지게 만든다.

이 정도는 구몬인이라면 누구나 알고 있어야 할 기본중의 기본입니다. 이런 기본을 무시하고 구몬을 진도식 학습과 같은 방식으로 취급하는 사람은 구몬인이 아닙니다. 여러분은 구몬에 구몬인 아닌 사람이 과반이상을 차지하는 해괴한 시대에 살고 있습니다.

이 정도 반론이면 누구도 반기를 들 수 없을 테지만 I-method의 관점에서 딱 한 마디만 덧붙이도록 하죠.

"뇌 연구에 의하면, 선행학습은 사고발달과 아무 관련이 없다. 오히려 그것은 뇌신경망을 망가뜨려 머리를 나빠지게 만든다."

(2009 논문 중에서)

지적표준이 1단계 학습 수준(6A~4A)에 머문 안나에게 2학년이라는 이유로 A나 B를 학습시키는 것은 선행학습과 같은 상황을 초래합니다. 안나는 학습을 전개할수록 정서적으로 위축될 것이고 자기조절은 중단될 것이며, 오로지 단순한 암기만 반복할 겁니다. 이건 학습이라는 미명아래 아이를 망치는 행위죠.

다음은 제가 안나를 만나서 두 달 동안 취한 조치입니다.

1차시에 어머님을 만나 지적표준 진단결과와 진도수정계획에 대해 상담드렸습니다. 지국장님께는 사무실로 항의전화가 올 수 있음과 예퇴 리스트에 올릴 것을 알렸죠.

2차시에 6A 도트 1세트+ 5A 순차진도 1세트를 하루분으로 하는 교재(1일 학습량 20장)로 수업하면서 수감각 향상을 위해 어머님께자석숫자판 구매를 부탁드렸습니다.

3차시에 자석숫자판 활동을 같이 했고

4차시에 숫자판에 수를 무작위로 찾아 놓기를 연습하며 수의 위치를 알려주는 수 배열에 대해 모델링을 실시했습니다.

5차시에 수창 1분에 70, 도트 1~10의 인지를 확인했고

6차시에 6A~5A를 끝내면서 4A를 스킵하는 대신 숫자쓰기노트로 순창-역창-분산창/ 짝홀수쓰기 등을 함께 하고 과제로 내주었습니다. 이때부터 더하기 1이 시작됩니다.

7차시에 더하기 2를 나가는데 불확실한 암기에 의존하여 더하기를 하는 것이 확인되었습니다. 이렇게 현재 아동이 주력으로 사용하는 자기조절이 부분적이고 불분명할 때는 이전 단계의 자기조절을 활성화시키는 것이 과제숙달을 위해 더 바람직합니다. 따라서 이 경우에 '수창'을 주요 풀이 수단으로 놓도록 바꿔줍니다. 안나는 모든 문제를 입으로 소리내어 읽고 수세기를 통해 문제를 해결하도록 지시받습니다.

8차시 수세기가 빨라지면서 더하기의 능률도 함께 올라가고 있습니다. 이제 더하기 3을 학습중입니다.

안나는 3A를 원활히 학습하기 위한 3가지 선행 지적표준인 수세기, 수직관, 수좌표의 부분적 강화만으로도 더하기 1~3을 이전보다 훨씬 빠르게 처리할 수 있었습니다. 선행 지적표준의 기반이 아직 충분하지 않기 때문에 수세기연습, 자석숫자판 놓기는 당분간 교재 이전에 반드시 먼저 해야 할 과제입니다. 1분에 120이상을 세고 자석숫자판에 수를 무작위로 쉽게 찾을 수 있을 때까지 교재의 난이도는 더하기 3~5 수준에서 고정해 둘 계획입니다. 안나는 아직도 39-->50과 같은 오류에서 완전히 벗어나지 못했거든요.

안나의 학습교재는 비록 더하기 과제로 주지만 수업은 자석숫자판, 수세기, 수쓰기 등 1단계 지적표준을 확인하고 강화하는 것으로 구성됩니다. 안나는 이외에 국어 2A 이야기책 읽기과제가 있는데 같은 페이지의 지문을 연속해서 5번 읽어야 합니다. 하루 과제는 2페이지죠. 안나는 내적 언어 단계 이전의 단계인 혼잣말 단계에서 충분한 증폭이 이뤄지지 않은 채로 입을 다문 학습에 익숙해져 가고 있었습니다. 겉으로 보면 입을 다물고 공부하고 있어서 내적 언어단계에 진입한 것처럼 보이지만 실은 입을 다물고 할 것을 강요받는 상황에서 어쩔 수 없이 입을 다문 것일뿐이죠. 안나는 아직 소리내어야 비로소 생각할 수 있는 단계에 있습니다. 이런 혼잣말 단계에서 성취해야 할 모든 것을 증폭시킨다면 국어는 물론 수학에서도 근본적인 변화가 일어날 것입니다.

자기조절과 자학자습 7-2. 증폭과 지적표준 모델링

postk — Mon, 26 Feb 2024 00:17:17 +0900

2015-03-30 01:50:42

"교사는 아동의 발달을 기다리는 사람이 아니라, 아동의 발달을 가속화시키는 사람이다" (Vygotsky)

이 말은 제가 비고츠키에게서 가장 감동받은 명언 중 하나입니다. 동시에 이 말은, 구성주의와 사회문화주의의 차이를 가장 극명하게 보여주죠.

여기서 '발달을 가속화시킨다'라는 부분에 집중해 봅시다. 비고츠키에게서 발달이란 고등정신기능의 성숙, 즉 자기조절능력의 신장을 의미합니다. 앞서 살펴본 바와 같이, 자기조절의 발달은 근접발달영역에서 최대화됩니다. 그리고 이 근접발달영역을 활용한 지도법으로 증폭모델과 촉진모델이 있음을 말씀드렸습니다. 여기서 잠시 이 두 모델에 대한 이해를 더 분명히 하기 위한 시간을 가져보죠.

두 모델은 아동의 근접발달영역(ZPD)을 설정하는 방법이 다릅니다.

증폭은 학습난이도를 고정한 상태에서 자기조절 수준 자체의 심화발달을 ZPD로 설정하는 방법입니다.

반면에, 촉진은 ZPD의 허용범위 안에서 학습난이도 자체를 이동시키는 방법으로 자기조절의 통제 영역을 확대(새로운 학습에 적응)한다거나 새로운 단계의 자기조절을 유도(사고 생성)하는 방법입니다.

예를 들어 보죠.

이것이 증폭과 촉진의 차이를 충분히 설명하는 것은 아닐지라도 어느 정도의 이해를 갖추는 데 도움이 되길 바랍니다.

우리가 증폭과 촉진을 구별해야 하는 이유는 각각의 상황에서 자기조절의 내면화가 다르게 이루어지기 때문입니다.

둘 다 아동의 발달을 이끌지만 일반적으로 증폭의 상황에서 교사는 아동의 사고습관을 형성한다거나 사고의 조절, 변형, 검토에 주안점을 두고 지도해야 합니다. 한편 촉진의 상황에서 교사는 아동이 심화된 학습 또는 새로운 학습에 겁먹지 않고 대응하도록 하는 정서적 지원, 기존의 지식에서 지금 문제를 푸는 데 이용할만한 것을 탐색하도록 돕는 인지적 지원, 자기 생각에 집중하여 자기조절을 강화, 대안을 창출하도록 돕는 초인지적 지원에 힘써야 합니다.

증폭과 촉진은 아동과 교사의 '교수-학습'을 질적으로 다른 국면으로 만들며 따라서 다른 종류의 결과를 만듭니다.

구몬에서 표준학습으로 일컬어지는 '낮은 출발점, 많은 학습량, 충분한 복습, 표준완성시간'은 본래 행동주의적 지도법입니다만 이것을 사회문화주의 입장에서 받아들이면 '증폭'을 달성하는 방법으로 이용할 수가 있습니다. 즉, 낮은 출발점 또는 학습지점을 근접발달영역으로, 표준학습의 목표를 표준완성시간이 아니라 '자기조절의 증폭'으로 대체하는 것이지요.

X-method나 A-method에서는 X(작업능력)나 A(사고력) 위주의 단편적인 발달을 강조하지만 I-method에서 발달은 기본적으로 두 가지의 경로를 모두 긍정합니다.

첫째, 메카니즘A라고 부르는 사고발달루트는 자기조절(A)의 심화과정(사고력-이해력-기억력-집중력)이고

둘째, 메카니즘X는 작업능력(X)이 사고력에 영향을 주는 과정입니다.

이 두 메카니즘 사이에 i, 즉 교사의 상호작용(Interaction)이 매개되어야 합니다. 이 상호작용의 방법이 증폭과 촉진이죠.

증폭모델에서 여러분께 제시하는 건 두 가지입니다.

사실 '증폭'을 온전하게 달성하려면 이 두 가지가 병립해야 합니다.

첫째, 지적표준 모델링(Mental Standards & Modeling : 케이몬스터즈 2007 논문 게재)

지적표준 모델링이란, 자기조절의 현 수준과 조만간 획득하여야 할 자기조절 수준 사이를 근접발달영역으로 설정하고 모델링 방법을 통해 자기조절의 내면화, 활성화를 돕는 지도방법입니다.

여기서 모델링(Modeling)이란, 학습자가 모방하기를 바라는 행동이나 사고를 교사가 시범해 보이는 것을 의미합니다.

둘째, 메타인지 피드백(Metacognitive Feedback : 케이몬스터즈 2008 논문 게재)

메타인지 피드백은 메타인지 학습법을 구몬에 도입한 것으로, 2008논문에서 최초 공개되었고 2009논문에는 조절모델이라는 이름으로 실렸습니다. 이 지도법의 목적은 아동의 메타인지를 자극하여 아동 자신이 학습의 주인임을 자각하도록 하고 자기의 학습에 책임감을 갖는 자세와 유능한 사고습관을 형성하는 데 있습니다. 메타인지 피드백은 총 6가지의 실행단계로 이루어져 있습니다.

(나의 생각 점검표-관찰하기-모니터링-오류발견-모니터링 피드백-궁리하기)

이제 지적표준 모델링부터 하나씩 파고들어가 보죠.

지적표준 모델링은 4 단계 순환지도모델입니다.

첫번째 단계는 지적표준을 진단하여 근접발달영역을 설정(Creation)하는 것이죠.

이것이 구몬에서는 출발점 결정이나 진도결정에 대응됩니다. 지적표준에 따라 출발점을 결정하면 일반적으로 낮은 출발점이 잡힙니다.

두번째 단계는 해당 학습에 대한 학습자의 자기조절과 주의집중 정도를 주시(Observation)하는 것입니다.

사회문화주의에서 바라보는 집중력(작업능력)은 일차적으로 자기조절 수준에 의해 규정됩니다. 더 높은 집중력을 가지려면 자기조절 수준을 끌어올려야만 하는 것이죠. 그러기 위해서 교사는 학습자의 자기조절 발달경로를 파악하고 있어야 합니다. 자기조절이 학습에 잘 녹아들면 자발적 주의집중이 가능해집니다. 자기조절이 작업능력(집중력)을 제어하는 것이죠. 일반적으로 보통아들이 교재풀이 중 딴 생각을 하게 되거나 사소한 잡음, 볼거리에 민감하게 반응하면서 주의(attention)를 놓치는 것은 집중력을 유지할 수 있는 자기조절이 부족하기 때문입니다.

세번째 단계는 2단계 주시를 통해 발견된 문제점에 대해 타조절(Other-Regulation)을 개입시키는 과정입니다.

교사는 아동의 학습에서 다음에 도래해야 할 자기조절 수준을 모델로 하여 직접 시범해보이거나 힌트를 주거나 이렇게 해보면 어떠니 하고 제안을 합니다. 이때 타조절의 시기가 중요한데, 일단 기다려 볼 것인지 즉시개입을 할 것인지를 판단하기가 쉽지 않을 것입니다. 그래서 사전에 아동의 학습경향, 즉 학습유연성을 파악해 두면 도움이 됩니다. 학습유연성이 큰 아동에겐 일단 기회를 주는 것이 좋습니다. 반대로 학습유연성이 작은 아동이라면 타조절을 개입시키는 것이 오히려 기회를 높이는 일이 될 것입니다.

네번째 단계는 3단계에서 개입된 타조절이 아동에게서 내면화(자기것으로 만듬)되었는지, 이어서 활성화(학습에 실질적으로 이용)되었는지, 아니면 아동의 고착(fixation)에 의해 타조절이 실패하였는지를 확인하는 과정입니다.

이런 것은 표준완성시간으론 확인할 수 없습니다. 자기조절은 오직 아동의 눈과 손, 혼잣말 등을 세심하게 관찰함으로써 확인될 것입니다.

이렇게 4단계를 도표로 나타내보면 다음과 같습니다.

4단계 확인과정에서 자기조절의 내면화, 활성화가 미흡하다거나 타조절이 실패하였다고 판단되었을 경우에는 2단계 주시과정으로 되돌아가야 합니다. 이것이 내순환(inner cycle)입니다.

보통아들의 경우, 유연성보다 고착의 크기가 더 크기 때문에 이전의 학습경향, 습관, 인지구조를 쉽게 바꾸려 하지 않습니다. 주시과정으로 되돌아왔을 때 교사는 아동의 상황에 맞게 어떤 타조절(도움)이 추가적으로 필요한지를 생각해야 합니다.

만일, 4단계에서 자기조절의 내면화, 활성화가 달성되었음이 확인되면 첫번째 단계로 크게 돌아가서 ZPD를 재설정해줍니다. 단원을 바꿔준다거나 과제의 난이도를 조절하는 것이지요. 이것이 외순환(outer cycle)입니다.

지적표준 모델링 지도의 핵심은 학습자의 근접발달영역(ZPD) 올바르게 설정하는 일입니다. ZPD가 잘못 설정되면(너무 어렵거나 쉬우면) 2단계에서 아동의 자발적 주의집중을 관찰할 수 없을 것이며, 3단계의 타조절이 실패할 가능성이 높아집니다. 결과적으로 진도가 정체될 확률도 높아지죠.

다음 시간엔 가상회원을 입회하여 지적표준 모델링으로 함께 지도해 보도록 하죠. 지적표준 모델링이 여러분의 현재 지도관리와 어떻게 다른지, 어떤 가능성이 있는지 살펴볼 기회가 될 것입니다.