2020-01-01 06:57:15
1. 덧셈암산 후반부(#41~80) 지도
<10 큰 수>
#40까지 합수 18의 조합이 완성되면, #41부터 10 큰 수의 원리를 이용한 덧셈이 등장합니다.
4+5=9
14+5=19
7+3=10
17+3=20
10 큰 수에 대한 이해가 부족한 아이들은 4+5와 14+5의 차이점과 공통점을 발견하지 못하고 둘을 별개의 문제로 바라봅니다. 그러니 4+5=9라고 써 놓고 바로 아래 문제 14+5는 한참을 고민하고 있겠지요. 이런 경우는 일단 지켜본 뒤 지체하지 말고 수창판이나 숫자판을 놓고 '10 큰 수 읽기'를 같이 해보세요.
▶ 첫째, 5-15-25-35-45-55 이런 식으로 '세로줄 읽기'를 한 뒤 안 보고 읽을 수 있는지 확인하세요.
▶ 둘째, 5-6-7, 15-16-17, 25-26-27 이런 식으로 구간을 정해 세로줄 읽기를 연습시킵니다.
▶ 셋째, 둘째 단계를 5+2=7, 15+2=17, 25+2=27과 같이 읽으며 내려가도록 연습시킵니다.
그러나 아마 이런 연습으로도 다음과 같은 오류가 있을 것입니다.
-오류1-
17+4=11
-오류2-
17+4=12
오류1은 7+4=11인데 17+4와 뭐가 다른지 모르니 그냥 썼거나 더 황당하게는 7+4와 17+4를 같은 문제라고 생각한 경우입니다. 오류2는 7+4=11이고 17은 1이 더 있으니까 12라고 답한 경우이지요.
여러분이 볼 때는 누가 앞으로 더 잘할 것 같나요?
뭐 둘 다 틀렸으니 거기서 거기라고 생각하실지 모르지만 오류2의 학습자가 월등히 잘하는 것이 관찰됩니다. 사고수준과 학습태도가 다르기 때문이지요.
어쨋든 이런 오류들은 이 시기 학습자에게 나타나는 전형적인 실수들이지만, 사실 더 큰 실수는 주로 교사들이 범하기 쉽다는 걸 말씀드려야겠군요.
아이들이 이 구간에서 이렇게 헤매고 있을 때, 교사들은 아무렇지도 않게 '올림수 개념'을 끌고 와서 떠벌이기도 합니다. 네, 물론 2학년 이상인데 이제 A단계인 아이의 경우 올림수 이런 거 쯤이야 문제될 것이 없다고 생각할 수도 있습니다. 그렇지만 2학년인데 A단계를 학습하고 있는 건 그만한 이유가 있는 것 아니겠습니까? 올림수 개념이 위와 같은 오류를 해결하거나 방지하는 데 효과적이라면 2학년으로서 학교에서 이미 그 개념을 학습한 아이는 A단계 이 구간에서 적어도 '틀리지는' 않아야 합니다.
그러나 제가 관찰한 바에 따르면, 올림수 개념은 17+4나 25+8과 같은 셈을 정확하고 빠르게 해내는 것과는 아무 상관이 없었습니다. 사실 더 핵심적인 변수는 따로 있기 때문이지요. 바로 '양감각', '수좌표감각' 말입니다.
양감각은 17+4의 값이 적어도 17보다는 커야한다는 사실을 알려줍니다. 수좌표감각은 17+4와 7+4가 같은 간격의 평행이동값과 관련이 있다는 걸 알려줍니다. 사실 B단계가 되어도 올림/내림수를 따로 지도할 필요가 없는 것이 구몬입니다. 아니 오히려 그런 것들을 가르쳐야 한다면 정상이 아니지요.
본디 올림/내림수라는 것은 계산의 편의를 위해 인위적으로 고안된 방편일 뿐이라서 수감각 증진과는 무관할 수 밖에 없습니다.
2학년 학습자도 이럴진대 그 이하의 학령은 두 말할 필요도 없습니다.
절대로, 올림수 개념을 지도하지 마세요.
#41~80구간에서 발생하는 오류들은 오로지 '복습과 피드백, 10 큰 수 지도'로만 조절되어야 합니다.
<교환법칙의 확장>
A: 5+7=12
B: 7+5=12
C: 17+5=22
D: 15+7=22
E: 7+15=22
기존 교환법칙에 대한 이해가 <A-B>였다면, #41~80구간에서는 <C-D-E>로 넓혀주어야 합니다. 즉, 덧셈의 교환법칙은 다음의 두 가지 상황에서 성립합니다.
첫째, A+B(5+7)를 B+A(7+5)로 바꾸어도 답은 같다. (연산수 교환) : <A-B, D-E교환>
둘째, AB+C(17+5)를 AC+B(15+7)로, 혹은 AB+C(17+5)를 B+AC(7+15)로 바꿔도 답은 같다.
(자릿수교환) : <C-D,C-E교환>
A+B=C에서 A,B,C를 연산수(operand)라고 부릅니다. 덧셈의 교환법칙에서는 좌변의 연산수끼리 서로 자리바꿈이 가능한데 이것이 연산수 교환입니다. 덧셈의 교환법칙은 자릿수교환도 가능한데 이것은 자릿값을 유지하면서 바꾸는 것으로 17+5에서 15+7로, 혹은 17+5에서 7+15로 일의 자리끼리 또는 십의 자리끼리 위치가 바뀌는 경우입니다. 곱셈에서는 연산수 교환만 성립하고 자릿수 교환은 성립하지 않습니다. 이것이 곱셈식 초기에 "16X7과 17X6은 같을까?"라는 발문을 해야하는 이유입니다.
<C-D-E>교환은 #41~80 학습이 중간쯤 이상 진행된 후, 아이와 함께 여러 문제들에 나타난 사례들로 피드백이나 학습정리로서 다루길 바랍니다.
2. 뺄셈의 도입
<가역적 사고의 시작>
여러분이 초등학교 1학년이었던 때를 떠올려 봅시다. 아마도 한동안은 집에서 학교로, 학교에서 집으로 오갈 때마다 어머님이 동행해주셨겠지요? 그러나 어느 시점이 지나면 혼자서 등하교를 했을 것이구요. 여러분은 기억이 안나시겠지만 저는 기억이 납니다. 처음으로 혼자 등하교하던 날 많이 헤깔렸거든요. 등교는 그럭저럭 하겠는데 문제는 하교길이었지요. 분명히 아침에 오던 길인데 왜 돌아갈 때는 그렇게 다른 길처럼 보였을까요?
이처럼 A->B와 B->A는 총합이나 변량에는 차이가 없지만, 결정적으로 다른 게 있습니다. 바로 '사고의 방향성'이지요.
A->B에서 사고는 순차적으로 일어납니다. 그러나 B->A는 A->B의 역순으로 일어나지요. 이것을 가역적 사고라고 부릅니다. 수학적 사고력의 하나로서 가역적 사고는 수학학습에서 다소 어려운 영역이기도 합니다. 당연한 일이지만 시계를 분리하는 것보다 조립하는 게 더 어렵지 않겠어요?
그런데 '수학을 잘 하려면' 이 가역적 사고에 아주 유연해져야 합니다. 뺄셈, 나눗셈, 약분, 어떤 수 풀기, 인수분해, 인수정리, 지수와 로그, 미적분 변환 등 대충봐도 골치아픈 것들 투성이긴 하지만요.
<자기조절 퇴행과 복원, 그리고 증폭>
덧셈암산이 무색하게 뺄셈을 처음 배우거나 익숙치 않은 상황에서 학습할 때는 자기조절이 퇴행하여 이전 단계 수준의 지적표준으로 다시 내려갈 수 밖에 없습니다. 한동안 자취를 감췄던 수세기-손가락 쓰기-복제-지그재그 등이 다시 나타나게 될 겁니다. 이것은 덧셈에서 뺄셈으로 근접발달영역(ZPD)이 새로 설정되었기 때문에 어쩌면 지극히 자연스런 반응이죠. 진짜 문제는 퇴행이 아니라 적응과 복원력입니다.
손가락 대신 수세기로, 수세기 대신 역산으로, 역산 대신 암산으로의 증폭과정(자기조절)이 우리의 목표이기 때문이죠.
아마도 이 과정에서 많은 아이들이 덧셈의 자기조절 수준을 유지할 수 없을 겁니다. 그래서 때때로 뺄셈 중 덧셈을 너무 까먹어서 덧셈을 같이 풀리는 분들도 계신 줄 압니다. 고육지책이긴 하지만 그렇게 해서라도 진도를 나갈 수 있다면야 다행입니다만 대개는 죽도 밥도 안되기 쉽상이지요. 이런 이유로 덧셈단원(#11~80)은 정말 목숨걸고 가급적 완벽하게 할 수 있도록 만들어야 합니다. 그런 조건에서조차 뺄셈은 만만치 않으니까요.
<역창법 VS 역산법>
구몬 A단계 학습포인트에 보면 "빼기 1은 앞의 수, 빼기 2는 앞의 앞의 수, 빼기 3은 앞의 앞의 앞의 수로 도입합니다"라고 되어 있습니다. 이런 방식의 뺄셈법을 역창법이라고 하겠습니다.
역창법에서 5-2는 5->4->3의 역창으로 3을 이끌어 내게 됩니다. 이건 우리가 3A에서 3+2는 3->4->5로 2칸을 세어 5를 이끌어낸 것처럼 수세기에 의한 셈법입니다.
반면에 역산법이란 것도 있습니다. 이것은 5-2를 '2와 더하여 5가 되는 수는?'이라는 질문으로 생각하여 3을 유도하는 방법입니다. 말하자면 가르기/모으기(3+2=5 --> 5-2=3 / 5-3=2)를 이용하는 것이지요.
예전에 2A에서 빼기가 나올 때는 A단계 뺄셈파트의 기본지침이 '역산법'이었습니다. 이후 교재개정으로 빼기가 A단계로 넘어가면서 기본지침도 바뀌게 된 것이죠.
A단계에 와서야 빼기가 시작되므로 기본지침이 역창법으로 제시된 것은 정상입니다. 역창법이 가장 낮은 수준의 자기조절 수단이기 때문이지요. 하지만 역창법은 자기조절의 최소출발점이지 종점이 아닙니다.
A단계 후반 뺄셈단원은 설사 아이가 생애 처음으로 해보는 빼기라 하더라도(촉진), 결국 완성에 이르기 위해서는 자기조절의 자체심화발달, 즉 '증폭'이 핵심조건이 됩니다.
이때, 두 말 할 필요도 없이 가장 높은 수준의 자기조절은 당연히 역산법이고, 지적표준은 덧셈 수준의 머리셈이겠지요? 아마도 이 두 목표를 달성하려면 대부분의 아이들은 2A 수준의 자기조절로 '내려가야' 할 것입니다. 그러나 3A 수준으로 내려가야 하는 아이도 있겠지요? 그래서 교재의 표준지도지침이 '역창법'으로 게시된 겁니다.
그러니까 뺄셈이 시작되면 빼기 1,2,3에서 가장 먼저 확인하셔야 할 것이 문제해결을 위해 아이가 어떤 수준의 '자기조절'을 동원하는가 하는 것입니다.
3A 수준으로 내려간 경우라면, 처음엔 '역창'에 의해서 답을 구해야 하므로 '거꾸로 세기(역창)연습'이 교재풀이를 도와줄 수 있을 것입니다. 그러나 빼기 3이 끝나가도록 '역창법으로만' 계산한다면 '절대로' 안 됩니다. 역창법으로 도입했더라도 빼기3의 마무리 전에 반드시 역산법을 익혀야 합니다. 왜냐하면 역창법으로만 문제해결이 가능한 경우, 이후의 -1~-3혼합이나 -4, -5로의 빠른 교재흐름을 따라가지 못하고 결국 작업능력이 제로에 가까워지는 시점을 맞이할 것이기 때문이죠. 물리적으로 14-9를 9칸 뒤로 세어 푼다는 건 '고문'에 가까운 일입니다.
최악의 경우, 어떤 아이는 스스로는 역창법 이상의 자기조절로 나아가지 못할 수도 있고, 어느 수준까진 올라가도 결국 스스로는 역산법을 터득하지 못할 수도 있습니다. 제가 지적표준의 성격에 대해 말씀드린 것 기억하고 계시죠?
지적표준의 발달이 일정한 순서를 밟는다는 것은 수 많은 아이들 지도에서 입증된 사실입니다.(순차성)
그에 반해 지적표준이 항상 알맞은 시점에 알맞은 정도로 출현하는 것은 아닙니다. 그것은 뭐랄까, 자연상태로 놔두면 그저 되는 애는 되고 안 되는 애는 안 되는 것처럼 보이기도 합니다. 이것을 좀 어려운 말로 지적표준의 '확률적 개연성'이라고 명명한 것이죠.
만일, 지적표준의 성격이 이렇게 딱 2가지에 그쳤다면 우리가 아동을 도울 수 있는 방법은 남아있지 않게 됩니다. 그저 아동이 적절한 인지수준에 도달할 때까지 차나 마시면서 기다려야 할테니까요.
하지만 지적표준이 어떤 원리로 발달하는지를 알고 있다면 교사는 적절한 때에 충분히 아동을 돕거나 자기조절을 증폭시킬 수 있습니다. 지적표준은 체계성과 확장성을 가지고 있기 때문이죠.
<증폭과 촉진>
오로지 역창법으로만 빼기를 하는 아이가 있다고 할 때, 여러분이 해야 할 조치는 다음의 두 가지입니다.
첫째, 수세기(역창)보다 진보된 자기조절로 나아가도록 유도한다.
둘째, 역산법을 이해시키기 위한 모델링(시범)을 시행한다.
첫째 방법은 증폭입니다.
위의 그림에서 보는 바와 같이 아이는 비록 뺄셈초기에 헤매고 있지만, 이미 덧셈암산에 이르는 모든 자기조절의 길이 뚫려있는 상태입니다. 단지 이전과는 다른 수준의 새로운 자기조절인 '역조작'이 아직 막혀있는 것이죠. 이때 역조작은 가역적 사고, 즉 역산법을 다루는 자기조절이자 지적표준을 의미합니다.
증폭이란, 이렇게 이전까지의 주제인 덧셈암산을 가능케 했던, 자기가 개발하거나 터득해서, 혹은 도움을 받아서 익힌 자기조절들을 현재 주제인 '뺄셈'으로 가져와서 그대로 '써 먹도록' 하는 것입니다.
그림을 보세요. 역창법에만 의존하는 아이는 자기조절이 '수세기' 수준으로 후퇴한 상태입니다. 수세기-수좌표-수직관 그룹 다음의 자기조절 그룹은 '지그재그, 복제나 암기'입니다. 그러니까 이 아이가 무언가 앞으로 전진하기 위해선 또 다시 한동안 '지그재그'를 해야한다는 거죠. 이쯤되면 아이가 빼기3이 끝나가도록 스스로는 지그재그를 해 볼 생각도 안 했다는 얘기니까 여러분이 교재를 '보여주고', '시범하고', '따라하게' 만드셔야 합니다. 이것을 아이가 잘 수행한다면 일단 이 아이의 자기조절을 2A 수준 정도로 끌어올리는 데 성공하신 겁니다.
그러나 그렇게 되려면 동시에 반드시 역산법을 이해시키는 과정이 뒤따라야 합니다. 그것이 촉진이죠.
둘째 방법은 촉진입니다. 아이의 현재발달수준 외곽에는 조만간 발달할 것으로 보이는 잠재발달수준이 있다고 말씀드렸죠? 그러니까 이 아이에겐 역조작이 잠재발달수준이 될 겁니다. 촉진이란, 현재발달수준에서 잠재발달수준까지 완만한 경사의 다리를 놓아서 아동이 그 다리를 밟고 올라가도록 함으로써, 새로운 자기조절을 배우도록 하는 방법입니다. 이 경우는 역조작을 이해하고 익히도록 여러분이 아이에게 '역산법'을 '가르치는 것'이죠.
여기까지는 보통이하의 아동일 경우를 상정하여 말씀드렸습니다. 제 회원들을 보면 10명 중 1~2명은 이런 것 같네요.
상하위 3~4명을 제외한 대부분의 보통아들은 아래에 주목해 주세요.
<역조작의 발달경로: 역산-검산-오류감지-덧뺄셈의 연결>
위 '자기조절 계통도'에서 역조작은 그 자체로 하나의 지적표준입니다. 즉, 여러 가지 종류의 자기조절이 '융합'된 사고라는 것이죠. 이때 통합되는 주요 자기조절이 추리-교환-상보원리, 그리고 덧셈암기력입니다.
사실, 이 모두는 자기조절의 경로에서 소위 '뚫린 길'이기도 합니다. 하지만 이것들을 잘 조절해서 '플러스 알파'인 역조작을 만들어 낼 수 있어야 하죠.
첫째, 덧셈암산을 정상적으로 마친 보통아라면 A단계 뺄셈에 이르렀을 때, 주저말고 역산법을 바로 도입하세요!
덧셈암산까지 제대로 가 본 아이라면 A단계에서 반드시 활성화되어야 할 자기조절이 최소 50%는 형성된 거라고 보면 됩니다. 그 나머지 50%가 역조작이니까요. 또, 역조작이란 바로 앞선 덧셈암산까지 발달시킨 자기조절을 베이스로 형성되는 것이니 앞선 50%가 믿을 수 있는 상태라면 굳이 역창법과 같은 수준 낮은 자기조절로부터 출발하지 않아도 됩니다. 그러니까 시작부터 역산법으로 풀도록 지시하시면 됩니다. 네, '지시하셔야' 합니다. 빼기 1부터 '확실하게' 역산법을 훈련하지 않으면 감수(5-1=4에서 -1)가 커질수록 자기조절이 퇴행하여 돌이키기 어렵습니다.
5-1=(4) <-- 1+(4)=5 '1과 더하여 5가 되는 것은 4이다'
6-1=( ) <-- 1+( )=6 '1과 더하여 6이 되는 것은?'
이런 식으로 풀게 되면 아이의 머리는 '퍼즐맞추기' 방식으로 작동됩니다. 그 퍼즐은 이미 아는 그림(덧셈)이지요.
하지만 마치 처음보는 로보트의 부품을 맞추듯이 아주 천천히 배울 수 밖에 없습니다. 어쩌면 역산법을 쓰는 아이들이 손가락을 놀리는 아이들에 비해서도 빼기1~3에서는 확실히 '느려보일' 겁니다. 그러나 빼기3까지 그렇게 다지고 나면 역조작이라는 새로운 자기조절을 획득하게 되어 이후에는 더 잘 적응하고 빨라집니다.
둘째, 역산법으로 문제를 푸는 순간 동시에 뺄셈의 검산법을 익히게 됩니다. 이 검산법으로 오류를 감지하는 방법을 가르치세요.
연산이 시작되는 3A부터 지적표준에 따라 진도를 잘 구성할 경우, 2A단계까지 오답률은 거의 0%에 수렴합니다. 오답률이 높아지는 건 A단계부터죠. 특히 뺄셈은 더더욱 오답률이 높을 겁니다. 빼기 1~3까지 어느 정도 역산법이 익숙해지고 나면, 검산법으로 오답을 찾는 방법을 알려주세요. 그리고 나서 '오류발견활동'과 같은 메타인지 피드백으로 검산능력이 갖춰졌는지를 체크하셔야 합니다. 이렇게 시간이 좀 더 흐르면 역산과 검산이 하나로 합쳐질 겁니다. 문제를 풀 때 역산과 검산을 동시에 수행하는 것이죠. 이것은 결과적으로 오답률을 낮추고 오류를 빠르게 감지하는 오류감지능력으로 자리잡습니다.
셋째, 합수 11~20 쓰기 또는 외우기 과제를 내주세요.
역산법 지도에 있어서 거의 유일한 위기는 틀림없이 덧셈암기력이 부실할 때 나타납니다. 특히, 11빼기가 등장할 때부터 아마 악몽을 경험중이신 분들 많으리라 생각합니다. 그 이유는 당연하게도 합수 11~20을 익힌지 얼마 안됐기 때문입니다.
네?, 얼마 안됐으면 잘 기억하고 있어야 하지 않냐구요? 아니요, 덧셈파트에서 제아무리 잘했어도 뺄셈에 와서 '기억이 안나 어려운 것'은 당연한 겁니다. 6+3=9와 같은 수준은 2A와 A를 지나오면서 수 없이 관찰할 기회가 있었던 반면 합수 11이상의 문제들은 이제 겨우 A 전반부에서 익혀가고 있는 중이니까요. 즉, 아직 진행형이란 얘깁니다. 7+4=11과 11-4=7은 아직 병립하는 같은 수준이 아닙니다. 이 둘을 '같은 수준'으로 볼 수 있는 '감각'(머리셈)이 만들어지려면 당분간은 시행착오를 할 수 밖에요. 그리고 그 끝에 가서야 비로소 암산(머리셈)이 있죠.
이전에 교환법칙을 빠르게 알아보고 적용하는 데 있어 도형추리력이 필요하다고 말씀드린 거 기억하시나요?
7+4=11
4+7=11
도형추리란 쉽게 말하면, '관찰 대상의 일부 혹은 전체를 머릿속으로 움직여서 파악하는 능력'입니다.
7+4=11
이 문제를 세로축(Y)에 대해 대칭이동한 것이 11-4=7입니다. 이게 빨리 보여야 뺄셈을 잘 할 수 있겠지요?
이처럼 덧뺄셈을 연결하는 데, 즉 역조작을 통해 암산을 완성하는 데 도형추리가 관여하는 것은 분명해 보입니다.
따라서, 가급적 아이들에게 '시각화'된 자료로 피드백을 줄 필요가 있습니다.
우선, 덧셈과 마찬가지로 덧셈조합이 많은 합수 11~14빼기를 아주 많이 연습시킬 각오를 하셔야 합니다.
[합수 11의 집합]
10+1=11 --> 11-1=10
9+2=11 --> 11-2=9 --> 11-9=2
8+3=11 --> 11-3=8 --> 11-8=3
7+4=11 --> 11-4=7 --> 11-7=4
6+5=11 --> 11-5=6 --> 11-6=5
주중 핵심과제가 11~12빼기라면 이 두 조합수에 대해 덧셈집합을 위와 같이 노트에 써보도록 하는 것이 도움이 될 때가 있습니다. 합수 11~20까지 이렇게 관리해 보세요. 이것이 효과가 없다면 망각이 심한 경우이므로 차라리 덧셈파트로 되돌아가서 정리를 해주는 것이 낫습니다. 어중간하게 덧뺄셈을 병행하려고 하지 마세요. 두 개 이상의 연산을 동시에 수행하는 것은 현단계보다 높은 수준의 자기조절을 요구합니다.
학습능력이 의심스러운 경우, 차라리 A단계 진입 전 미리 말씀해 두세요. 뺄셈 나갔다가 특정 부분에서 부적응이 있을 경우 덧셈으로 언제든 복귀해서 몇 사이클을 순환해야 할 수 있다구요.